基于Open CASCADE的曲面法線方向計(jì)算

李都寧 毛力奮 原力 王普勇 蔣光南

摘要：法線方向是曲面的重要參數(shù)，在計(jì)算圖形學(xué)中被廣泛使用，如場景中的光照及陰影效果、法線貼圖效果、三維網(wǎng)格生成等，準(zhǔn)確計(jì)算得到曲面上某點(diǎn)的法線對各類圖形效果處理的質(zhì)量具有重要的意義。本文利用Open CASCADE圖形庫，對其中的曲面幾何對象的法線方向計(jì)算方法進(jìn)行了分析，提出計(jì)算曲面法線方向的穩(wěn)健性方法，并對比了不同計(jì)算方法所得到的法線對網(wǎng)格劃分產(chǎn)生的效果，驗(yàn)證了曲面法線方向計(jì)算過程的有效性。

關(guān)鍵詞：Open CASCADE;曲面法線;BREP

中圖分類號(hào)：TP393? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）23-0287-04

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Open CASCADE（Open Computer Aided Software for Computer Aided Design and Engineering）是由法國Matra Datavision公司開發(fā)的CAD軟件系統(tǒng)，是世界上最重要的開源幾何造型基礎(chǔ)軟件平臺(tái)，它的存在大大方便了各類科研組織進(jìn)行相關(guān)的圖形學(xué)研究。該圖形庫是基于OpenGL開發(fā)的專用CAD類庫，提供了CAD模型建模與操作、CAD模型格式讀取與保存等功能，廣泛應(yīng)用于CAD軟件開發(fā)、CAE仿真軟件設(shè)計(jì)等方面。

曲面上某點(diǎn)的法線方向指的是在該點(diǎn)處與表面垂直的方向，對于平面來說，平面上各點(diǎn)的法向是一樣的，對于曲面來說，各點(diǎn)的法線方向則并不相同。法線方向作為曲面的重要屬性，在圖形學(xué)領(lǐng)域中被大量使用[1]，其正確性對圖形場景中的光照、陰影效果、貼圖效果等有直接影響。將曲面的法線信息應(yīng)用于CAE軟件網(wǎng)格劃分過程中，能夠改善劃分網(wǎng)格的質(zhì)量。

通常情況下曲面法線計(jì)算有兩種方式，一種是微分法，通過曲面數(shù)學(xué)方程計(jì)算[2]。另一種是平均鄰接面法，通過曲面的離散化三角形計(jì)算。第二類方法最早由Gouraud[3]提出，采用頂點(diǎn)所在面的法線代表頂點(diǎn)法線，Max[4]提出了采用加權(quán)的方式處理頂點(diǎn)法線。在國內(nèi)，孫娟[5]使用SVD方法計(jì)算了曲面上頂點(diǎn)的法線，程磊[6]則提出了棱邊分裂法，改進(jìn)了棱邊位置處頂點(diǎn)法線的計(jì)算精確度。

本文對Open CASCADE曲面法向方向的計(jì)算方法進(jìn)行分析，采用傳統(tǒng)微分幾何法、離散三角面片平均法與Open CASCADE中曲面屬性相結(jié)合的新方法，從而提高了Open CASCADE曲面法線計(jì)算的精確度。

1 Open CASCADE曲面

Open CASCADE中采用邊界表達(dá)法（Boundary Representation，簡稱Brep）來表示曲面，該方法根據(jù)頂點(diǎn)、邊和面構(gòu)成的曲面來精確地描述三維模型，描述信息主要包括幾何（Geometry）和拓?fù)洌═opology）兩部分。一般來說，幾何信息對幾何對象的形狀、大小、位置等進(jìn)行描述，如面的形狀、點(diǎn)的坐標(biāo)，拓?fù)湫畔缀紊系捻旤c(diǎn)、邊、面的拓?fù)溥B接關(guān)系進(jìn)行描述，如圖1所示。幾何信息依附于拓樸信息而存在的，在Open CASCADE中，TopoDS拓?fù)漕悓?shí)現(xiàn)了BRep幾何模型。

曲面（Face）是Open CASCADE中用來描述三維實(shí)體邊界的拓樸，由曲面的幾何及若干個(gè)曲線（Wire）來描述。以圓柱體為例，圓柱體包含三個(gè)面：底面、頂面和側(cè)面。底面和頂面屬于Geom_Plane幾何類型，側(cè)面屬于Geom_CylindricalSurface幾何類型，通過頂面和底面的曲線來限定面的邊界，從而得到實(shí)際的圓柱面。三維模型空間中的曲面一般采用二維參數(shù)空間{u， v}來進(jìn)行定義，參數(shù)區(qū)間可以有界或無界，如對于圓柱側(cè)面Geom_CylindricalSurface類型的曲面，其u方向區(qū)間為[0，2π]，v方向區(qū)間為（-[∞]，+[∞]）。三維曲面空間和二維參數(shù)空間的映射關(guān)系示意圖如圖2所示。

在計(jì)算機(jī)中對曲面進(jìn)行顯示時(shí)，通常會(huì)對曲面進(jìn)行三角剖分，得到離散的三角面片數(shù)據(jù)，對三角面片增加材質(zhì)、光照等渲染效果后，即可較好的在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示出三維的曲面模型，在OpenCASCADE中曲面剖分后的三角面片數(shù)據(jù)是保存在曲面的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中。一般情況下，可以在參數(shù)空間上進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后再映射到三維模型空間，如圖3所示。在求曲面上某點(diǎn)的法線方向時(shí)，所求的點(diǎn)位置通常指三角面片的頂點(diǎn)位置。

2 法線計(jì)算方法

Open CASCADE中曲面采用數(shù)學(xué)參數(shù)方程來描述，是曲面的精確表示，因此可以通過求微分的方法得到曲面上的切向向量，然后由兩個(gè)切向向量的叉乘得到曲面的法向量。圖4中曲面S（u，v）上點(diǎn)P對應(yīng)的一次微分Su，Sv即為曲面在該點(diǎn)處的切向量。

點(diǎn)P處的法向量N可用式（1）計(jì)算得到。

N = Su? Sv? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

曲面離散為多個(gè)相連的三角形后，每個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)位于幾個(gè)不同的三角形邊界上，因此可將與該頂點(diǎn)相鄰的三角形法向量進(jìn)行平均得到該頂點(diǎn)的法線，其中每個(gè)三角形的法向量可根據(jù)三角形兩條邊矢量的叉積計(jì)算得到。如圖5所示，曲面頂點(diǎn)P的法向就等于其相鄰六個(gè)三角形的法向平均值。為了得到更加準(zhǔn)確的法線向量，可采取不同的平均方式對三角形法線向量進(jìn)行處理，例如，可以使用每個(gè)三角形的面積作為加權(quán)的權(quán)值。

3 Open CASCADE曲面法線計(jì)算

Open CASCADE中的曲面是用參數(shù)方程來表示的，同時(shí)在曲面的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中也保留有三角網(wǎng)格數(shù)據(jù)。為了得到更加精確的曲面法線，首先可以基于曲面參數(shù)方程，采用微分法來直接計(jì)算法向量，如果該方式計(jì)算失敗，則采用平均法向的方法來計(jì)算。

實(shí)際中基于曲面參數(shù)方程法計(jì)算法線之所以會(huì)失敗，是因?yàn)椴捎脜?shù)形式時(shí)，需要處理由參數(shù)化引起的奇異性（Singularity）。這種奇異性是由于參數(shù)方程引起的，典型的例子是參數(shù)表示的球面，Open CASCADE中球面的參數(shù)方程如式（2）所示。

[Su，v=P+r?cosv?cosu?Dx+sinu?Dy+r?sinv ?Dz] （2）

其中，[u，v∈0，2π×[-π2，π2]]。當(dāng)[v=-π2]時(shí)，對于任意的[u∈0，2π]有：

[Su，-π2=P-r?sinv ?Dz] （3）

從式（3）中可以看出，[v=-π2]時(shí)所對應(yīng)的參數(shù)空間中的邊退化（Degenerated）成了一個(gè)點(diǎn)，即球面的極點(diǎn)。同樣的，當(dāng)[v=π2] 時(shí)也存在邊的退化情況。

對于球面來說，顯然極點(diǎn)處的法線是存在的，然而對于式（3）所表示的參數(shù)方程，則無法通過切向量叉乘的方式計(jì)算法向量。事實(shí)上，通過球面的參數(shù)方程可以計(jì)算得到某點(diǎn)u、v方向上的切向量如式（4）、（5）所示。

[Su=r?cosv?（-sinu ?Dx+cosu ?Dy）] （4）

[Sv=-r?sinv?cosu ?Dx+sinu ?Dy+r?cosv?Dz] （5）

當(dāng)[v=-π2]或[π2] 時(shí)，對于任意的[u∈0，2π]有：

[Suu，-π2=Suu，π2=0] （6）

即在球面的極點(diǎn)處切向量[Su]為零向量，這就意味著不能通過對切向量叉乘的方式計(jì)算法向量。由此可知，對于參數(shù)化的曲面，需要u或v方向上的切向量均不為零，才能求出法向量。

Open CASCADE中對退化點(diǎn)的法線計(jì)算采用近似的方式進(jìn)行處理。首先，用一階泰勒展開代替法線向量N（u，v），則計(jì)算法線方向等效于求曲面上某點(diǎn)處的二階微分，如果計(jì)算仍舊沒有成功，則給定退化點(diǎn)附近微小的步長，計(jì)算距離退化點(diǎn)微小距離的點(diǎn)的法向量。由上可知，退化點(diǎn)處的法線會(huì)出現(xiàn)計(jì)算不準(zhǔn)的情況。

實(shí)際上，Open CASCADE中對于不同的曲面類型，提供了很多額外的幾何信息，可以充分利用Open CASCADE幾何的屬性來判斷并計(jì)算特殊點(diǎn)處的法線方向。以圓錐為例，對于圓錐曲面上的點(diǎn)，只有圓錐頂點(diǎn)的位置比較特殊無法計(jì)算得到，其他位置的法線可以通過微分法得到。Open CASCADE中對圓錐曲面定義了主軸方向?qū)傩?，如圖6所示。

其中，如果圓錐半錐角為正的話，錐尖在主軸的負(fù)方向，半錐角為負(fù)的話，錐尖在主軸的正方向。因此，可以借助圓錐曲面半錐角的正負(fù)以及主軸方向來定義圓錐頂點(diǎn)的法線方向，從而得到準(zhǔn)確的結(jié)果。

綜上，對于Open CASCADE中的曲面S，求曲面S上點(diǎn)P（P為曲面離散三角形面片上的某個(gè)頂點(diǎn)）的法線，相應(yīng)的算法流程為：

a） 判斷曲面S類型及點(diǎn)P的位置，如果為存在奇異點(diǎn)的曲面（如圓錐曲面），且點(diǎn)的位置是奇異點(diǎn)，轉(zhuǎn)步驟b），否則轉(zhuǎn)步驟c）;

b） 根據(jù)曲面信息中的參數(shù)，計(jì)算奇異點(diǎn)P的準(zhǔn)確法線，轉(zhuǎn)步驟g）;

c） 求點(diǎn)P處u，v方向上的切向量，如果切向量存在為零的情況，轉(zhuǎn)步驟d），否則轉(zhuǎn)步驟e）;

d） 求點(diǎn)P處的二階微分，通過一階泰勒展開近似計(jì)算法線方向，判斷法線方向是否正確（非零向量），正確轉(zhuǎn)步驟g），否則轉(zhuǎn)步驟f）;

e） 通過切向量叉乘得到法線方向，轉(zhuǎn)步驟g）;

f） 將P點(diǎn)所相連的三角面片法線進(jìn)行平均，作為P點(diǎn)法線方向，轉(zhuǎn)步驟g）;

g） 輸出法線方向。

為了驗(yàn)證上述算法流程的有效性，這里以一個(gè)包含圓錐曲面的幾何模型為例，采用不同方法計(jì)算得到相應(yīng)的曲面法線，然后使用法線信息進(jìn)行網(wǎng)格生成，并對比所生成網(wǎng)格的效果。算例幾何模型以及其局部的三角面片模型如圖7所示。

網(wǎng)格劃分要求對離散模型中所有三角形的每個(gè)節(jié)點(diǎn)位置計(jì)算法線方向，理論上同一個(gè)位置的節(jié)點(diǎn)法線方向在每個(gè)三角形中計(jì)算的結(jié)果均相同，但實(shí)際中由于計(jì)算方法的不同，確會(huì)出現(xiàn)不同的結(jié)果。這里分為三種情況進(jìn)行對比：

1） 曲面奇異點(diǎn)采用求二階微分的方法處理，若求解不成功，則計(jì)算離奇異點(diǎn)非常近的點(diǎn)法線方向;

2） 曲面奇異點(diǎn)采用三角面片法線平均的方法處理;

3） 曲面奇異點(diǎn)采用本文提出的算法流程處理。

根據(jù)不同算法得到的法線方向劃分得到的網(wǎng)格如圖8所示。

由圖8可以看出，第一種情況下，由于采用微分法計(jì)算法線，在不同三角形中的奇異點(diǎn)處計(jì)算得到的法線方向很可能不一致，導(dǎo)致在圓錐頂點(diǎn)處的網(wǎng)格生成錯(cuò)誤。第二種情況下，采用離散三角形法線平均的方式得到的法線方向一致，但存在一定的方向偏差，在劃分網(wǎng)格時(shí)會(huì)判斷此處法線方向變化較大，從而加密網(wǎng)格。第三種情況下，得到的法線方向一致且無偏差，劃分的網(wǎng)格比較均勻。

4 結(jié)論

本文基于Open CASCADE的曲面提出了一種計(jì)算法線方向的方法，該方法有效結(jié)合了微分法、平均法線法以及曲面的屬性信息，通過實(shí)際網(wǎng)格劃分的驗(yàn)證，表明該方法具有適應(yīng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，能夠精確的獲取到曲面法線方向。

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【通聯(lián)編輯：唐一東】