重關(guān)聯(lián)，明變化，找分別
——淺析二次函數(shù)不同解析式的聯(lián)系與區(qū)別

☉江蘇省無(wú)錫市第一女子中學(xué)初中部 項(xiàng) 菲

二次函數(shù)的解析式是研究二次函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生往往對(duì)三種不同形式的解析式的表示方法應(yīng)用自如，而對(duì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別不能做到十分明晰，尤其是如何進(jìn)行推演的過(guò)程更是一知半解，從而出現(xiàn)孤立記憶的情形.因此，教師有必要讓學(xué)生從本源上來(lái)認(rèn)識(shí)和理解三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，真正做到對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的全面掌握.為了清楚地說(shuō)明這些問(wèn)題，不妨先借助函數(shù)圖像，從最基本的問(wèn)題談起：

問(wèn)題1：函數(shù)y=ax2與y=x2的圖像之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y=2x2、y=、y=-2x2的圖像，通過(guò)這些函數(shù)圖像與函數(shù)y=x2的圖像之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)y=ax2與y=x2的圖像之間所存在的關(guān)系.先畫(huà)出函數(shù)y=x2、y=2x2的圖像.列表：

表1

從表1中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了.

再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)y=x2、y=2x2的圖像（如圖1所示），我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖像之間的關(guān)系：函數(shù)y=2x2的圖像可以由函數(shù)y=x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到.

圖1

通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像可以由y=x2的圖像各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到.在二次函數(shù)y=ax2（a≠0）中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖像的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小.

問(wèn)題2：函數(shù)y=a（x+h）2+k與y=ax2的圖像之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖像之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系.可以作出函數(shù)y=2（x+1）2+1與y=2x2的圖像（如圖2所示），從函數(shù)的圖像不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y=2（x+1）2+1的圖像.這兩個(gè)函數(shù)圖像之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn).類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y=-3x2、y=-3（x-1）2+1的圖像，研究它們圖像之間的相互關(guān)系.

圖2

通過(guò)上面的研究，可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=a（x+h）2+k（a≠0）中，a決定了二次函數(shù)圖像的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖像的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖像的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”.

利用上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像的方法：

所以，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可以看作將函數(shù)y=ax2的圖像作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）具有下列性質(zhì)：

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值

（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值

圖3

圖4

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖3和圖4直觀地表示出來(lái).

有了以上的演變過(guò)程，二次函數(shù)的兩種基本解析式形式之間的關(guān)聯(lián)和演變已經(jīng)非常明晰了，下面先寫(xiě)出這兩種二次函數(shù)解析式的形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x+h）2+k（a≠0），其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-h，k）.

除了上述兩種表示方法，還可以用交點(diǎn)式的形式來(lái)表示.為了研究交點(diǎn)式的表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為0，于是有ax2+bx+c=0 ①.

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為0），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程①的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個(gè)數(shù)又與方程①的根的判別式Δ=b2-4ac有關(guān)，由此可知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式Δ=b2-4ac存在下列關(guān)系：

（1）當(dāng)Δ＞0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則Δ＞0也成立.

（2）當(dāng)Δ=0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則Δ=0也成立.

（3）當(dāng)Δ＜0時(shí)，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則Δ＜0也成立.

于是，若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0）、B（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，所以

由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面的結(jié)論：

若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y=a（x-x1）（xx2）（a≠0）.

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種表示方法：

（3）交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0），x1、x2是二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題.下面不妨看兩道例題：

例1已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-3，0）、（1，0），且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

解法1：由二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-3，0）、（1，0），可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+3）（x-1）（a≠0）.

展開(kāi)得y=ax2+2ax-3a.

由于二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，則|-4a|=2，即

解法2：由二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-3，0）、（1，0），得其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-1.

由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或-2.

于是可設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）2+2，或y=a（x+1）2-2.

由于函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（1，0），則0=a（1+1）2+2，或0=a（1+1）2-2.

說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題過(guò)程中，要善于利用條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題.

例2二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），求此二次函數(shù)的表達(dá)式.

解：設(shè)該二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0）.

由函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)（-1，-22）、（0，-8）、（2，8），可得：

解得a=-2，b=12，c=-8.

則所求的二次函數(shù)為y=-2x2+12x-8.

通過(guò)上面兩個(gè)例題，不妨歸納一下：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式來(lái)求二次函數(shù)的表達(dá)式？

在解題時(shí)，根據(jù)題目的已知條件，求解二次函數(shù)的解析式，需要遵循簡(jiǎn)便、易行的方式，靈活地選取方法，一般遵循以下原則：

（1）不知道特殊點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，常用一般式來(lái)表示；

（2）知道頂點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，常用頂點(diǎn)式來(lái)表示；

（3）如果知道圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，常用交點(diǎn)式來(lái)表示.

綜上所述，上述三種情況要靈活運(yùn)用才能更全面也更好地理解二次函數(shù)的解析式.W