對新定義考題的解題研究與教學思考
——以南通2019年中考卷第28題為例

☉江蘇省海安市城南實驗中學 朱月鳳

新定義考題是近年來不少地區命題熱點，這類問題往往從一個定義出發，通過增設強化條件，組合成復雜的綜合難題，解題時需要深入解讀新定義、深刻理解新定義，并靈活運用.本文以2019年江蘇南通中考新定義壓軸題為例，解析思路并跟進教學建議，供研討.

一、新定義考題及思路突破

考題：定義：點（x，y），若x、y滿足x2=2y+t，y2=2x+t，且

x≠y，t為常數，則稱點M為“線點”，例如：點（0，-2）和（-2，0）是“線點”.

已知：在直角坐標系xOy中，點P（m，n）.

（1）P1（3，1）和P2（-3，1）兩點中，點______是“線點”.

（2）若點P是“線點”，用含t的代數式表示mn，并求t的取值范圍.

（3）若點Q（n，m）是“線點”，直線PQ分別交x軸、y軸于點A、B，當|∠POQ-∠AOB|=30°時，直接寫出t的值.

思路突破：（1）直接代入定義中提到的兩個等式運算后可確認點P2是“線點”.

（2）提供兩種思路.

思路1：由“線點”定義可得：

m2=2n+t ①，

n2=2m+t ②.

①-②，得（m+n）（m-n）=2（n-m）.因為m≠n，所以m+n=-2.

①+②，得m2+n2=2（m+n）+2t，配方得（m+n）2-2mn=2（m+n）+2t.

把m+n=-2代入，得4-2mn=-4+2t，整理得mn=4-t.

由m+n=-2，得點P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理得t=m2+2m+4=（m+1）2+3.

當m=-1時，n=-1，這里m=n，不舍題意，舍去.

當m≠-1時，都有t＞3.

綜上，t＞3.

思路2：由m+n=-2，得點P（m，-m-2）.代入x2=2y+t，有m2=2（-m-2）+t，整理成關于m的一元二次方程m2+2m+4-t=0.

由該方程有實數根，得Δ=4-4（4-t）=4t-12≥0，解得t≥3.

當t=3時，解得m=-1，此時m、n相等，故t≠3.

綜上，t＞3.

思路3：由點P（m，n）是“線點”，得m2=2n+t，n2=2m+t，則m2-n2=2（n-m），m2+n2=2（n+m）+2t.又m≠n，則m+n=-2.（n+m）2-2mn=2（n+m）+2t，則4-2mn=-4+2t，則mn=-t+4.由m≠n，得（m-n）2＞0，即（n+m）2-4mn＞0，則t-3＞0，解得t＞3.則t的取值范圍為：t＞3.

（3）先初步解讀條件，由于點P（m，n）、Q（n，m）也為線點，所以點P、Q在直線y=-x-2上且關于直線y=x對稱（如圖1），結合|∠POQ-∠AOB |=90°，可 得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

以下提供三種思路進一步分析.

圖1

思路1：分兩種情形討論120°或60°的情形.

①若∠P1OQ1=120°，先求得P1O=.由點P1（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=8，即m2+2m-2=0.即2-2m=2（-2-m）+t，解得t=6.

②若∠P2OQ2=60°，先求得P2O=.由點P2（m，-m-2），得m2+4+4m+m2=，即=0.即=2（-2-m）+t，解得t=

思路2：①若∠P2OQ2=60°，易知△P2OQ2為正三角形，可求出點又點Q2的坐標滿足x2=2y+t，代入后解得t=

②若∠P1OQ1=120°，△POQ為等腰三角形，分析出點.又點Q1的坐標滿足x2=2y+t，代入后解得t=6.

思路3：（基于高中圓的方程的視角）由點P（m，n）、Q（n，m）也為“線點”，得點P、Q在以O為圓心、r=的圓上.由|∠POQ-∠AOB|=90°，得∠POQ=60°或∠POQ=120°.

②當∠POQ=120°時，半徑OP=2（-x-2）=6.

二、解后反思與教學建議

這道新定義考題表述簡潔，閱讀量不大，但思維量大，解題教學時要辨明解題難點、關鍵步驟，然后預設必要的鋪墊帶領學生攻克難點.

先說第（2）問.這一問的難點或關鍵步驟有三處.第一處關鍵步驟是通過數式方程的變形求解分析出m、n之間的數量關系m+n=-2，這不僅對這一問的求解非常關鍵，而且對于下一問的探究十分重要，因為這個數量關系揭示了所謂“線點”P所在直線的方程.第二處關鍵是消去參數，將t用含有m或n的式子表示出來，借用方程或函數觀點進行最值分析.第三處關鍵在于t=3要舍去，只能取t＞3，這是一個易錯點，因為需要對條件m、n不可能相等再次使用.想清辨明上述關鍵步驟，有助于教學時在這些關鍵步驟上預設一些鋪墊問題，幫助學生順利解答.

再說第（3）問.這小問的關鍵步驟至少有四處.第一處關鍵步驟是想清點P、Q都是“線點”，且它們關于直線y=x對稱，這是引導學生初步感受P、Q兩點位置的關鍵，如果這一點都沒有辨明，則起點不清，難以構圖.若學生沒有發現它們都是線點，教學時要引導學生：“有人說點P、Q都是線點，你同意他的說法嗎？”第二處關鍵步驟是確認“線點”P、Q在直線y=-x-2上，這是由上一問中提出的m+n=-2成果擴大而來的，這樣就可以將點P、Q的位置關系想清，然后結合角度關系式，就能精準定位點P、Q的位置了.第三處關鍵步驟是需要分類討論∠POQ為60°或120°的情況.不少考生容易漏解，對絕對值符號表示的關系式思考不深.第四處關鍵步驟是計算能力要過關.因為涉及15°角的邊角關系，需要構造圖形，轉化為含30°角的三角形進行分析求解.

三、關于新定義考題的解題研究與教學思考

近幾年各地新定義考題成為一個熱點題型，開展相關解題研究十分必要，同時針對新定義考題的教學研究也值得深入思考.

1.明辨新定義的本質或結構是解題關鍵

新定義考題往往是結合初中階段原有的一些定義或性質進行整合、包裝而成，這時需要明辨新定義的本質或對應圖形的本質特征，然后靈活運用新定義進行解題.解決這類問題的難點在于理解新定義，并靈活運用.因為數學教學過程中，關鍵就是帶領學生新學一類數學概念，學生往往對舊知或舊概念有較強的依賴，難以適應新的概念.根據教學經驗，進入初中新學方程之后，有些學生仍然會依賴小學階段的算術解法；全等三角形學習后期會引出角平分線的性質定理，但學生往往不能簡化運用，所以在新定義解題研究時，往往會出現這類思維障礙.

2.新定義考題往往需要精準構圖分析

新定義之后隨著解題條件的增設，往往需要考生繼續構造圖形分析，而很多考生往往是圖形構造不出來，或者圖形構造不準，影響思路獲得.像上文中的新定義考題一樣，有些考生并沒有分析出“線點”所在直線的方程或兩個“線點”關于直線y=x對稱，這樣構造圖形不成功，思路也就難以打開.再比如，北京地區的很多新定義考題，往往都與一些軌跡圓有關，而且有時還會出現“大小同心圓”的情況，如果這些“同心圓”不及時準確分析出來，當然不利于思路獲得.

3.新定義考題教學時要預設鋪墊問題

新定義考題多有一些關鍵步驟或易錯點，這就要求我們在開展新定義考題解題教學之前要認真研判、明辨關鍵步驟，基于班級學情想清學生的易錯點，然后針對這些易錯點、關鍵步驟進行鋪墊式設問，設計這些鋪墊問題不只是幫助學生順利解決一道新定義題，更重要的是通過鋪墊式問題，讓學生學會在以后獨立面對一些較難問題時，知道從哪些地方入手思考，如何發現較難題的解題思路或念頭，如何利用條件或定義揭示的結構組合在一起獲得進展，怎樣防范易錯點，如何審校答案的嚴謹與規范，等等.也就是通過解題教學讓學生學會思考（想得更合理、更高效）.