在解題中提高，在提高中升華*
——以幾何問題為例

☉江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 施文軍

一、問題現狀

眾所周知，幾何是初中數學重點學習的內容.在歷年各地的中考命題中有近50%的考題與幾何相關.由此可見，其重要性毋庸置疑.在多年的教學中，學生普遍認為初中幾何知識過于復雜，涉及的內容太多，考題變化多種多樣，面對一道題時，不知如何作輔助線，找不到解題的切入點.

二、考查要點

結合筆者多年教學經驗，發現在初一的時候我們幾乎已經把初中幾何所考的內容都學完了.面對這個問題，可能部分學生表示不認同.那么筆者的依據是什么？

實際上我們小學就學過幾何，只不過那時我們學習的重點是幾何圖形的基本性質，如周長、面積等.到了初中，除了豐富幾何基本性質，學習的重點則變成了在同一平面內幾何圖形的關系.但這些關系總的來說只有兩種：

（1）邊（線段）的關系，包括位置關系與數量關系.位置關系在初一的時候就學過了，只有垂直與平行兩種.不僅初中，甚至高中也只有這兩個關系會在考試中出現.邊的數量關系考點也只有三種：相等，比例，以及利用數量關系求線段長.

（2）角的關系，只有數量關系及利用數量關系求角度這兩種.

我們整整三年的初中數學，幾何只考這幾類問題.如下面兩例及其解析過程.

例1如圖1，在?ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，連接DE.

圖1

（1）求證：DA=DF；

分析：本題第（1）問證明兩條邊相等，即兩條線段的數量關系；第（2）問，求平行四邊形的面積，其實是尋找線段的數量關系.第（1）問的解答借助已知中的平行關系，從角的關系入手.第（2）問，通過挖掘題目中隱含的垂直關系，利用直角三角形中的三角函數和勾股定理來尋找邊的數量關系.（具體過程略）

例2如圖2，AB是⊙O的直徑，PA、PC與⊙O分別相切于點A、C，連接AC、BC、OP，AC與OP相交于點D.

（1）求證：∠B+∠CPO=90°；

分析：本題第（1）問考查的是角的數量關系，可從如下兩種視角求解.

方法1：由已知條件可得PO⊥AC.

因為PA、PC與⊙O分別相切于點A、C，所以OA⊥PA，PC=PA，∠PAC=∠PCA.∠CPO+∠PCA=90°.

因為AB是圓O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠B+∠CAB=90°.而∠CAB+∠PAC=90°，所以∠B=∠PAC.

綜上得∠B+∠CPO=90°.

圖2

圖3

方法2：連接OC，如圖3.

因為PA、PC與⊙O分別相切于點A、C，所以OC⊥PC，OA⊥PA，∠APC=2∠CPO.所以∠OCP=∠OAP=90°.

因為∠AOC+∠APC+∠OCP+∠OAP=360°，所以∠AOC+∠APC=180°.又因為∠AOC=2∠B，所以∠B+∠CPO=90°.

第（2）問求邊的長度，可將其置于直角三角形中，利用三角函數及勾股定理求解.

如圖4所示，因為AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠BAC=90°.

因為∠ABC+∠CPO=90°，所以∠BAC=∠CPO=∠APO.

圖4

三、策略探析

以線段相等為例，初一我們學習的方法是利用三角形全等來證明線段相等，初二補充了利用特殊圖形（等腰三角形、平行四邊形、構造輔助圖形等）證明線段相等，初三學習函數之后又加入了解析法求線段長、證明線段相等.換句話說，我們所學的問題三年來并沒有增加，一直都是這幾類，而解題的思想方法每年都在增多.如：

例3 如圖5，在Rt△ABD中，∠BAD為直角，AC⊥BD于點C，CD=CE，BF⊥AE的延長線于點F.

求證：AC=CF.

分析：結合已知條件中所給的垂直關系，構造輔助圓，可簡潔證明.

圖5

圖6

證明：以AB的中點O為圓心、AB為直徑構造圓，如圖6所示.

可得∠CAD+∠CAB=90°，∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，則∠CAD=∠B.

因為CE=CD，所以AE=AD，∠CAE=∠CAD=∠B.又因為∠B=∠F，所以∠CAE=∠F.

所以AC=CF.

例4如圖7，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，在⊙O的切線CM上取一點P，使得∠CPB=∠COA.

圖7

（1）求證：PB是⊙O的切線；

分析：第（1）問，求證PB是⊙O的切線，可從尋找線段的位置關系入手.

證明：因為PC與⊙O相切于點C，所以OC⊥PC，∠OCP=90°.因為∠AOC=∠CPB，∠AOC+∠BOC=180°，所以∠BOC+∠CPB=180°.

證明：在四邊形PBOC中，∠PBO=360°-∠CPB-∠BOC-∠PCO=90°，所以半徑OB⊥PB，即PB是⊙O的切線.

分析：第（2）問求邊的長度，既可以從邊的關系入手，也可從角的關系入手.

方法1：連接OP，如圖8.

因為PB、PC都是⊙O的切線，所以∠CPO=∠BPO，∠OCP=∠OBP，∠COP=∠BOP=60°.所以PB=OB·tan60°=6.

圖8

圖9

方法2：連接BC，如圖9.

因為PB、PC都是⊙O的切線，所以PB=PC.

所以△PBC為等邊三角形，所以PB=BC=6.

四、教學建議

筆者在教學中研究發現，大部分學生幾何成績不理想不是單純的基礎知識不好，而是不知道該從什么地方入手，不知道如何作輔助線.幾何題的難點在于圖形的變化和已知條件的隱蔽，問題往往都問得非常直接，這就可以成為我們的入手點.題中會明確告訴我們要求的是線段長還是位置關系，再聯系我們所熟悉的基本圖形，輔助線就呼之欲出了.

以求線段長為例：

初一的時候我們只學過利用全等求線段長，也就是找到與所求線段相等的線段即可.

初二的時候我們學習了用勾股定理求線段長.

初三的時候我們學習了用銳角三角函數與相似求線段長.

這樣根據方法的要求，勾股定理與銳角三角函數都與直角三角形有關，在解決相關問題中通過作垂線，將所求線段放在直角三角形中，就成為了做題的首選.這也就是我們常說的問題切入法.諸如此類的方法很多，例如特殊點切入法、特殊線段關系切入法等.因此教學中教師要注意從這些角度進行滲透，讓學生知其然，又知其所以然.

由于篇幅關系在這里就不再一一介紹了.最后，學習數學是有極強的規律性的，只要我們在教學中善于總結規律，并加以利用這些規律，數學就會越學越簡單.W