構(gòu)造輔助圓 巧解初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題

☉江蘇省常熟市孝友中學(xué) 陳艷秋

在解決初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，很多證明題無(wú)法通過(guò)常規(guī)思路進(jìn)行論證，而轉(zhuǎn)換思路，借助繪制輔助圓的方式能夠有效解決.輔助圓的方法，就是基于題目本身的特征，結(jié)合圓的相關(guān)性質(zhì)、特征，巧妙地解決問(wèn)題.本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)為例，介紹幾種常見(jiàn)輔助圓構(gòu)造案例及相關(guān)的解題思路.

一、問(wèn)題背景

在解決初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，有部分題目直接求解或證明的難度較大，解題過(guò)程煩瑣、復(fù)雜，在有限的考試時(shí)間內(nèi)解得正確結(jié)果的難度較大.在這種情況下，添加必要的輔助線有利于綜合分析已知條件，梳理解題思路.在解題過(guò)程中，平行線、垂線等直線段是最常用的輔助線.

與此相類(lèi)似，在一些幾何問(wèn)題中，我們需要構(gòu)造另外一個(gè)幾何圖形來(lái)輔助解題，如通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)等方式來(lái)繪制全等圖形，這種借助其他幾何圖形來(lái)解題的方法就是構(gòu)造輔助圖形.在實(shí)際解題中，我們經(jīng)常會(huì)構(gòu)造圓形，即繪制輔助圓，借助圓的性質(zhì)很容易就可以得到相應(yīng)的結(jié)論.當(dāng)然，在已知的題目信息中，圓是不存在的，或者已知信息中的圓并不是我們采用特定方法解題所需要的，這時(shí)我們需要自行構(gòu)造圓形，因此如何根據(jù)已知信息及選用的方法要求來(lái)繪制輔助圓是這一方法的關(guān)鍵，需要我們基于已知條件，結(jié)合幾何圖形，從所需得到的結(jié)論反推，得出缺失的條件，最終確定如何構(gòu)造輔助圓.

二、構(gòu)造輔助圓法案例解析

（一）已知“直角三角形”“90°角”等關(guān)鍵信息

案例1：如圖1所示，在直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P位于CB的延長(zhǎng)線上，BP與BC的比值為k，已知k的取值范圍為（0，1）.經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接AQ，試求解三角形ACB與三角形APQ的面積之比.

圖1

解析：根據(jù)已知條件，∠ABQ=∠APQ=90°，因此A、B、P、Q四點(diǎn)共圓，因此，可以繪制輔助圓O.可知∠PAQ=∠PBQ=45°，進(jìn)而確定三角形APQ為等腰直角三角形，很容易就可以求解兩個(gè)三角形的面積之比.

由已知條件，∠ABQ=∠APQ=90°.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，可知∠ABC=∠BAC=45°，則∠PBQ=180°-90°-45°=45°.

因?yàn)椤螦BQ=∠APQ=90°，可知點(diǎn)P與點(diǎn)B都在以線段AQ為直徑的圓上，因此繪制輔助圓O，那么∠PAQ=∠PBQ=45°，則∠PQA=90°-45°=45°，則PA=PQ，即三角形APQ為等腰直角三角形.

（二）“共頂點(diǎn)、等線段”問(wèn)題

案例2：如圖2所示，已知四邊形ABCD滿(mǎn)足：AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q，試求解對(duì)角線AC的長(zhǎng)度.

解析：在四邊形ABCD中，已知DA=DB=DC，因此可以以點(diǎn)D為圓心，以DB的長(zhǎng)為半徑構(gòu)造輔助圓，即三角形ABC的外接圓.易知∠CAE=90°.AB∥CD，則BC=AE.在直角三角形ACE中計(jì)算AC的長(zhǎng)度，即

圖2

（三）動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

在平面內(nèi)，如果已知線段AB，點(diǎn)C是AB外一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并且滿(mǎn)足∠ACB是固定值，那么點(diǎn)C在以AB為弦的圓上.特別地，如果∠ACB=90°，那么點(diǎn)C就在以AB為直徑的圓上.通過(guò)這一定理，可以借助繪制輔助圓來(lái)解決幾何中的一類(lèi)動(dòng)態(tài)問(wèn)題.

證明：如圖3所示，已知線段AB和點(diǎn)C、D，并且∠D=∠ACB.根據(jù)“不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓”，可通過(guò)A、B、C三點(diǎn)作圓O.

如果點(diǎn)D在該圓外，AD和圓O交于點(diǎn)E，連接BE.因?yàn)橥∷鶎?duì)的圓周角相等，因此可得∠AEB=∠ACB.因?yàn)椤螪=∠ACB，所以∠AEB=∠D，這與三角形的外角性質(zhì)不一致，因此點(diǎn)D不在圓外.

圖3

同理，可以排除點(diǎn)D在圓內(nèi)的可能.

可知點(diǎn)D在圓O上.若動(dòng)點(diǎn)所對(duì)定線段張角固定，那么該動(dòng)點(diǎn)在以定線段為弦的圓上運(yùn)動(dòng).當(dāng)張角為90°時(shí)，該定線段為圓的直徑.

案例3：如圖4所示，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的一條對(duì)角線BD上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，且不與端點(diǎn)重合，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為點(diǎn)H，連接DH.試求解線段DH的最小長(zhǎng)度.

解析：在這個(gè)問(wèn)題中，∠AHB始終是直角，所對(duì)的邊AB是固定線段，因此根據(jù)上述原理，很容易就聯(lián)想到添加輔助圓來(lái)確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，問(wèn)題就從求DH長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)變成了圓外一點(diǎn)到圓上某一動(dòng)點(diǎn)距離的最小值.

圖4

在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠AHB始終為90°，因此點(diǎn)H在以AB為直徑的圓上，圓心為線段AB的中點(diǎn)，假設(shè)為點(diǎn)E.連接DE，與圓交于點(diǎn)M，易知AD的長(zhǎng)度為4，AE的長(zhǎng)度為2，∠BAD=90°，因此DE的長(zhǎng)度為當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)至和點(diǎn)M重合時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，此時(shí)DH=DM=

三、結(jié)語(yǔ)

在解決部分初中數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題時(shí)，輔助圓是一種有效的工具.靈活、巧妙地構(gòu)造輔助圓，能夠?qū)⒃緩?fù)雜、不常見(jiàn)、與圓無(wú)關(guān)的題目簡(jiǎn)化，建立與圓的性質(zhì)、定理之間的聯(lián)系.反向推導(dǎo)，構(gòu)建結(jié)論與條件之間的關(guān)系，借助圓的定義、性質(zhì)及判定定理，將復(fù)雜的、不常見(jiàn)的題目簡(jiǎn)化、一般化，使得原本很難解決的問(wèn)題得以解決，提高解題效率及效益.

在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，筆者會(huì)有意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)構(gòu)造輔助圓來(lái)解決幾何問(wèn)題，學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)的思路更加多樣，方法的選擇也更加自主，數(shù)學(xué)思維能力得以提升，部分學(xué)生在靈活掌握輔助圖形法的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)了自我歸納，總結(jié)出適用這種方法的題目的類(lèi)型及特征，在班級(jí)內(nèi)部進(jìn)行了分享，這有利于學(xué)生準(zhǔn)確分析題目，科學(xué)選用方法，這正是筆者的教學(xué)目標(biāo)，即突破教學(xué)內(nèi)容的限制，注重?cái)?shù)學(xué)思維方法與學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)能力的提升.