全方位審視反比例函數

☉江蘇省宜興市新街中學 屠 萍

函數是初中數學“數與代數”中最難的一部分，它既是一個數學概念，又是一種數學思想，它與數、式、方程、不等式有所不同，數、式、方程、不等式是研究數量關系的，而函數是研究變量關系的，掌握函數不僅可以加深對代數式的理解，而且函數也使得方程與不等式聯系在了一起，使整個數學知識建立了有機的聯系，同時函數知識是初中和高中知識的銜接部分，是中考的重要考點，初中階段學習了三類函數，分別是一次函數、二次函數、反比例函數，其中反比例函數因其圖像與性質比較特殊，需要學生全方位審視理解它.

一、全面理解反比例函數的概念

例1函數y=（m-2）x3-m2是反比例函數，則m的值是多少？

分析：根據反比例函數的另一種形式y=kx-1（k≠0），可得到m的值.

解：由y=（m-2）x3-m2是反比例函數，得3-m2=-1且m-2≠0，解得m=-2.

點評：本題重點考查了反比例函數的另一種形式y=kx-1（k≠0），它與反比例函數一般形式的重要區別是一個右邊是乘積式，另一個右邊是分式，也就是說，當已知一個右邊是乘積式的函數是反比例函數時，自變量的指數應為-1.

二、全面觀察反比例函數的圖像

例2 如圖1，邊長為4的正方形ABCD的對稱中心是坐標原點O，AB∥x軸，BC∥y軸，反比例函數y=與y=的圖像均與正方形ABCD的邊相交，則圖中陰影部分的面積之和是多少？

圖1

圖2

分析：在兩個反比例函數中，｜k｜相等，所以這兩個雙曲線的形狀相同，再根據雙曲線的對稱性可將陰影部分拼合在一起形成規則圖形，然后求面積.

解：如圖2，因為反比例函數y=與y=中，｜2｜=｜-2｜，所以這兩個雙曲線的形狀相同.因為每個雙曲線均是一個中心對稱圖形，正方形ABCD的對稱中心是坐標原點O，所以每個象限內圖形的形狀都相同，所以將第二象限的圖形繞原點旋轉90°后，陰影部分1與空白4重合，將第四象限內圖形繞原點旋轉90°后，陰影部分2與空白3重合，所以陰影部分的面積之和=兩個小正方形的面積=4+4=8.

點評：對于不規則圖形的面積，第一種方法是通過分割或添補變為一個或幾個規則圖形的面積；第二種方法是通過圖形變換如平移、軸對稱或旋轉，拼合成一個規則圖形.這是初中階段求陰影面積常用的方法.欲對雙曲線形成的陰影圖形進行拼合，須比例系數｜k｜相等，欲對拋物線形成的陰影圖形進行拼合，需二次項系數｜a｜相等.

三、深刻解讀反比例函數的性質

分析：已知兩個點不在同一象限，應根據跨越象限時的性質去確定比例系數的符號，從而確定m的取值范圍.

解：由x1＜0＜x2，得點A（x1，y1）、B（x2，y2）在兩個不同的象限.

由當x1＜0＜x2時，y1＜y2，得1+2m＞0，解得m＞-.

點評：對于反比例函數的增減性，不僅與比例系數的符號有關，而且與所取的兩個點是否在同一象限有關.在解答時，也可以采用嘗試法，因為反比例函數圖像的位置只有兩種：在第一、三象限或在第二、四象限，若嘗試一種不可以，肯定就是另一種了.

四、牢固掌握比例系數k的意義

圖3

圖4

例4 如圖4，直線l⊥x軸于點P，且與反比例函數y1=（x＞0）及y2=（x＞0）的圖像分別交于點A、B，連接OA、OB，已知△OAB的面積為2，則k1-k2的值為（）.

A.2 B.3 C.4 D.-4

分析：根據反比例函數中k的幾何意義，可得△AOP的面積、△BOP的面積，根據這兩個三角形的面積差就是△OAB的面積，可求得k1-k2的值.

解：根據反比例函數中k的幾何意義，得△AOP的面積為，△BOP的面積為，則△AOB的面積為又△OAB的面積為2，則=2，則k1-k2=4，故選C.

點評：上述解法是根據反比例函數中k的幾何意義求得的，也可以利用反比例函數中k的代數意義求得，如設點則x1=x2，則OP=x1.因為△OAB 的面積為2，所以AB×OP=2，即，解得k1-k2=4.從這里可以看出反比例函數中k的代數意義與幾何意義同根同源，幾何意義更直觀，代數意義更精確.

反比例函數是初中學習的重要函數，它的圖像與性質的特殊性，決定了運用它解決問題時要格外謹慎，加強與一次函數的聯系與比較，會使得對這兩類函數掌握得更好.全方位審視反比例函數，才能深刻理解它的概念、圖像與性質，才能在考試中應對各種變化.