初中數學中構造思想方法的應用研究

☉江蘇省蘇州市吳江區松陵第一中學 彭麗華

數學學科具有抽象性、復雜性等特征，難度較大，因此在數學學習及解題過程中需要學生具備一定的分析能力及知識遷移能力，對學生的綜合能力具有較高的要求.在解決數學問題時，選用科學的解題方法與基礎理論一樣重要，而構造法是初中數學解題中常用的一種思想方法.本文以蘇教版初中數學為例，就如何在解題中靈活應用這一方法進行論述.

一、構造法概念的內涵

構造法是一種創造性較強的解題方法，融合了數學中的類比、歸納思想，在解決某些問題時可以提供新的角度.應用構造法，需要把握已知條件和需求結論之間的關系，選用適當的數學方法進行解決.在使用構造法時，通常需要經過“審題分析—尋找關鍵點—相關知識融入—確定解題思路與方法”的過程.

二、構造法解題的原則及策略

（一）原則

1.相似性原則

相似性原則指的是根據要求解的問題的已知條件和待求結論的特點，展開聯想，判斷這個問題是否和已經學習過的內容一致或類似，最后構造相應的數學模型，間接解決問題.

2.等價性原則

等價性原則指根據問題的特征，將相關的條件轉化成與之等價的新形式，在新的條件下求解該問題，或者將問題轉變成新的形式，此時所構造的新問題B與原本的問題A是等價的，因此解決問題B也就相當于解決了問題A.

（二）策略

1.直接構造法

通過觀察題目的已知條件和待求結論，聯想相關的知識內容，構造出相應的數學模型，使得原問題的求解得到簡化.在應用過程中，常見的直接構造法有構造等式、方程、函數等.

2.間接構造法

在解決某些數學問題時，由已知的條件和結論無法明確構造的方法.這時，可以嘗試改變部分條件或結論，這樣就能明確構造的思路與方向，構造新的數學對象或關系，進而解決問題.

三、案例解析

（一）構造方程法

對于某些數學問題，很難從正面直接求解，但是如果已知的條件或結論符合方程模型，則可構造方程.

案例1：已知實數a、b滿足數量關系和b4+b2-3=0.試求解關系式

解析:在審題之后，學生會發現高次方程很難求解，因此首選思路就是整體代換，利用已知條件中的a4、b4來整體替換結論中的a4b4.在嘗試之后，會發現求解過程還是比較復雜.這時就需要觀察已知條件和結論的形式，嘗試構造方程.

（二）構造函數法

在學習過程中，函數與方程經常會聯系到一起，是解決數學問題的有效工具.在解決相關問題時，學生需要注意解題思想方法的針對性，通過構造函數將復雜、抽象的問題直觀化、簡單化，確定解題的主線.

案例2：如圖1所示，正方形紙片ABCD的邊長為24cm，將圖中的黑色等腰直角三角形剪掉，沿著虛線折成長方體紙盒，使得頂點A、B、C、D正好在底面上的某一點重合.已知點E和點F在邊AB上，是被剪掉的一個等腰直角三角形的頂點.假設AE=BF=x，試求解：

圖1

（1）如果折成的立方體紙盒正好為正方體，那么盒子的體積是多少？

（2）若要保證紙盒的表面積S最大，x的取值為多少？（紙盒表面不包含底面）

解析：（1）由題意可知，正方體紙盒的底面邊長n=因此x+2x+x=24，計算可得x=6，n=

很多問題，不論是幾何還是代數，都包含有一定的函數思想，在解答過程中需要進行轉化與構造，利用函數方法，簡化答題思路.

（三）構造圖形法

初中數學開始系統地接觸幾何問題，三角形是初中階段重要的幾何圖形，包含三角形的各種性質.在遇到相關的數學關系證明或計算時，可以向幾何圖形轉化，借助相似三角形形象化地處理代數關系.

案例3：如圖2所示，已知線段AD是三角形ABC的角平分線，試證明：AD2=AB·ACBD·DC.

圖2

解析：假設AB·AC=AD·x，BD·DC=AD·y，則可以得到AD=x-y.假設E是直線AD上的點，滿足上述數量關系，由已知條件可得∠1=∠2.作∠ABM=∠ADC，∠AEB=∠ACD，可得三角形ADC與三角形ABE相似，BM、AE的交點為E，即可得AE=x.只需要證明DE=y，就可以得到BD·DC=AD·DE.易知A、B、E、C四點共圓，則AD2=AB·AC-BD·DC，得證.

（四）構造反例法

構造反例，即矛盾構造法，即通過反例來證明題干信息是錯誤的，是學生解決某些判斷題或者得出中間結論的簡便方法，對于學生的數學知識積累及基本能力素養要求較高.

案例4：已知實數a、b、c，試判斷并證明以下正確命題，若命題錯誤，給出反例：

（1）如果a2+ab+c＞0且c＞1，那么b的取值范圍為0＜b＜2；

（2）如果c＞1且0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0；

（3）如果0＜b＜2，那么a2+ab+c＞0且c＞1.

解析：（1）觀察表達式，可假設b=4，c=5，構造反例.此時a2+ab+c=a2+4a+5=（a+2）2+1＞0恒成立，c=5＞1，但是b的取值不滿足0＜b＜2的條件，因此該命題不正確.

（2）在舉出幾組特殊值之后，發現該命題均正確，因此需要采用嚴格證明的方法來確定其準確性.a2+ab+c=a2+2（0.5b）a+（0.5b）2-（0.5b）2+c=（a+0.5b）2+（c-0.25b2）.因為c＞1，0＜b＜2，所以c-0.25b2＞0恒成立，進而（a+0.5b）2+（c-0.25b2）＞0成立，即a2+ab+c＞0成立，原命題正確.

（3）假設b=1，滿足0＜b＜2這一條件，c=0.5，a2+ab+c=a2+a+0.5=（a+0.5）2+0.25＞0恒成立，但是c的取值不符合結論c＞1，因此原命題不正確.

四、結語

由上述分析可知，構造的思想方法是一種有效的解題手段.在初中階段，數學內容與問題的難度相對較小，如果學生能夠熟練掌握構造法，那么在解決一些問題時能夠有效提高解題效率，正確率也有所保證.同時，構造法最主要的特征就是知識的遷移與融合性，引導學生掌握這一解題方法的過程中，學生也會認識到不同知識點之間的聯系性，養成串聯相關知識內容的學習習慣.在初中數學的教學過程中，除了要幫助學生打好基礎，掌握基本內容，教師還需要注重思想方法的訓練，幫助學生提高邏輯思維能力及解題技巧，促進學生數學學科素養的形成與發展.W