三角形內角和：從小學到初中*

☉新疆烏魯木齊市新疆師范大學數學科學學院 蘇子璇

☉新疆烏魯木齊市新疆師范大學數學科學學院 楊 軍

☉新疆生產建設兵團第二師二十九團孔雀中學 鮮開勇

三角形內角和定理是幾何與圖形模塊中具有基礎性作用的內容.小學階段需要初步了解三角形內角和為180°這個結論，初中階段則需進一步嚴格證明之.

在小學階段，學生通過量一量、拼一拼、折一折等幾何直觀操作的方法發現并確認三角形內角和為180°這個結論.基于小學生的認知水平，采用幾何直觀操作的方法不但恰當，而且必要.但是倘若有強烈好奇心的小學生提出“老師，我們采用量一量、拼一拼、折一折等幾何直觀操作的方法都是有誤差的呀！為什么三角形內角和看起來不是179°或者181°呢”，那么教師該如何解答學生的疑惑呢？教師以“到初中可以嚴格證明它”回避之，顯然有扼殺學生好奇心的嫌疑.

到初中階段證明三角形內角和為180°時，部分教師幾乎直接開門見山、從天而降般地構造出一條平行輔助線，而忽略了“如何想到這樣構造輔助線”的思維過程.換言之，如果不知道這條輔助線是如何作出來的，那么我們如何才能想到構造輔助線的方法呢？

事實上，問題中本來沒有輔助線（即使只需一條輔助線），添加后才有了輔助線，因此這是從無到有的創造過程，更是培養學生創造力的良好契機.

基于以上分析，本文擬沿著從小學到初中的軌跡，探究以下兩個問題：（1）如何基于小學生的認知基礎，講清楚三角形內角和為180°的道理？（2）如何基于小學階段的部分實物拼圖方法自然而然地構造證明“三角形內角和為180°”的輔助線，如何基于小學階段的其他實物拼圖方法證明“三角形內角和為180°”？

一、如何對小學生講清楚三角形內角和是180°的道理？

奧蘇貝爾的認知同化理論認為：影響學習最重要的因素是學生已經知道了什么.事實上，在小學階段，學生已經具備了嚴格認識“三角形內角和是180°”的相關舊知.

1.直角三角形內角和

下面先利用長方形說清楚直角三角形內角和是180°的道理.根據長方形的四個內角均為直角，可知長方形的四個內角和為360°，把長方形沿對角線剪開，得到兩個完全重合的直角三角形（如圖1）.

圖1

因為長方形的四個內角均為直角，故長方形ABCD的內角和是90°×4=360°.而Rt△ADC和Rt△A′BC′的內角或者是長方形的內角，或者是長方形內角的一部分，從而根據它們是兩個完全重合的直角三角形，可以得到直角三角形的內角和是長方形內角和360°的一半，故得到直角三角形的內角和為180°.

2.斜三角形內角和

進一步，斜△ABC的內角和為什么也是180°呢？基本的方法是化歸，也就是把斜△ABC化歸為直角三角形.為此過斜△ABC內最大角的頂點A向對邊作垂線AD，垂足為點D.AD把斜△ABC分割成兩個直三角形，即Rt△ADB和Rt△ADC（如圖2）.在斜△ABC中，除了兩個直角∠ADB和∠ADC以外，其他所有的角或者是斜△ABC的內角，或者是斜△ABC內角的一部分.根據直角三角形的內角和是180°，得∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，從而，斜△ABC的內角和∠B+∠BAC+∠C=180°.這樣就對小學生講清楚了三角形的內角和為180°的道理.

圖2

二、初中階段基于“小學實物拼圖”證明“三角形內角和為180°”的方法

當然，前述基于小學生的認知水平對三角形內角和是180°的討論是權宜之計，因為從數學的邏輯關系看，是先有三角形內角和是180°，然后才得到四邊形內角和為360°這個結論的，故到了初中階段，還需要嚴格證明三角形內角和為180°.

如何自然而然而不是人為地作出證明三角形內角和為180°的輔助線，這是初中階段需要解決的核心問題.對新知“如何證明三角形內角和為180°”而言，初中生已有的舊知是小學階段經歷過的發現“三角形內角和為180°”的實物拼圖，它們是遷移發現證明思路的關鍵.

1.實物拼圖

在小學階段，學生把△ABC的兩個角∠B、∠C剪下來與∠A拼在一起，有4種不同的剪拼方法：

方法1：如圖3，把∠B剪下來拼在∠A的左側，即∠BAD；把∠C剪下來拼在∠A的右側，即∠CAE.

方法2：如圖4，把∠B剪下來拼在∠BAD處；把∠C剪下來，使∠C的一邊與∠A的邊CA的反向延長線重合拼接.

方法3：如圖5，把∠B剪下來拼在∠A的右側，即∠CAD；把∠C剪下來拼在∠A的左側，即∠BAE.

方法4：如圖6，把∠B剪下來，使∠B的一邊與∠A的邊CA的反向延長線重合拼接；把∠C剪下來拼在∠BAE處.

圖3

圖4

圖5

圖6

2.兩種“原汁原味”的證明方法

根據圖3所示的拼圖方法，自然得到下面“原汁原味”的證明三角形內角和的方法1.

證法1：由圖3可知，過△ABC的頂點A作射線AD，使∠BAD=∠B，過頂點A作射線AE，使∠CAE=∠C.

因為∠BAD=∠B，故AD//BC（內錯角相等，兩直線平行）.

同理，AE//BC.

根據平行線的唯一性“過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行”，可知D、A、E三點共線，故∠DAE為平角.從而∠B+∠BAC+∠C=∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°.

同樣，根據圖4所示的拼圖方法，可以自然得到下面“原汁原味”的證明三角形內角和的方法2.

證法2：如圖7，過△ABC 的頂點A 作射線AF，使∠BAF=∠B.作∠A的邊CA的反向延長線AD，并作∠DAE=∠C.

因為∠BAF=∠B，故AF//BC（內錯角相等，兩直線平行）.

因為∠DAE=∠C，故AE//BC（同位角相等，兩直線平行）.

根據平行線的唯一性“過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行”，可知AE與AF為同一條直線，故∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠BAE+∠DAE=180°.

圖7

圖8

3.對“原汁原味”證明方法的改進

從上述“原汁原味”的證法1不難看到，其證明三角形內角和為180°的關鍵是過點A作一條平行于BC的直線DE，由此得到啟發：既然平行于BC的直線DE是證明的關鍵，何不從一開始就直接過點A作一條平行于BC的直線DE呢？由此自然得到如下的改進證法.

改進證法1：如圖8，過△ABC的頂點A作DE//BC.因為DE//BC，故∠BAD=∠B，∠CAE=∠C（兩直線平行，內錯角相等）.

故∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠BAD+∠CAE=180°（等量代換）.

有興趣的讀者可以試著根據“原汁原味”的證法2類似寫出其改進的證法.

這樣，通過小學階段的兩幅實物拼圖（圖3與圖4），發現角與角之間的相等關系，從而得到線與線之間的平行關系，然后利用平行線的唯一性，給出了兩種“原汁原味”的證明方法，進而把“原汁原味”的證明方法進行改進，得到了簡潔的證明方法.

4.如何根據拼圖5證明三角形內角和

無論是人教版數學教科書，還是諸多關于“三角形內角和”的教學設計，均沒有就利用拼圖5（或拼圖6）如何證明“三角形內角和為180°”進行討論.筆者也曾因學生在課堂上提出這個問題無法解釋而尷尬不已……

通過深入思考發現，既然拼圖3與拼圖4中出現了平行線，而拼圖5中沒有平行線，那么要利用其證明“三角形內角和為180°”，理應構造平行線.通過觀察發現：既然圖5中的AD或AE與BC均不平行，那么是否可以旋轉AD或AE使其與BC平行，從而證明三角形內角和呢？由此得到構造輔助線的方法：過△ABC的頂點A作FG//BC.

證法3：作射線AD，使∠CAD=∠B.作射線AE，使∠BAE=∠C.過△ABC的頂點A作FG//BC（如圖9）.

由FG//BC，得∠BAF=∠B，∠CAG=∠C（兩直線平行，內錯角相等）.

從而∠EAF=∠B-∠C，∠GAD=∠B-∠C（等量代換），故∠EAF=∠GAD.

故∠EAF+∠FAD=∠GAD+∠FAD=180°，即E、A、D三點共線，故∠B+∠BAC+∠C=∠CAD+∠BAC+∠BAE=180°.

有興趣的讀者可以試著根據拼圖6給出類似的證法.

圖9

三、結束語

本文圍繞“三角形內角和定理”的探究之旅表明：（1）探討如何“基于小學生的認知基礎講清三角形內角和為180°的道理”，是真正置學生于心中的教師的職責所在，師者，除了“傳道、授業”，更應“解惑”；通過小學階段其中兩幅實物拼圖（如圖3與圖4）得到“原汁原味”的證明方法，并據此得到改進的證明方法，這樣的探究過程表明“即使只需構造一條輔助線，其產生也不應是‘空穴來風、從天而降’，而應是‘有理有據、從無到有’的邏輯創造過程”.

如何“基于小學階段另外兩幅實物拼圖（如圖5與圖6）證明三角形內角和為180°”具有一定的挑戰性.而恰恰是這樣具有挑戰性的問題，推動了教師的專業發展，正所謂“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.