小題大做，回歸知識
——以直角三角形的數形轉換專題為例

☉江蘇省常熟市白茆中學 張建亮

在中考即將到來的時候，初三的學生需要的是加壓而奮進，一線的教師同樣備有壓力，做好中考備考引領是重要的.為此，備課組對成員精心分工，將備考專題進行了分解，在集體備課的基礎上，要求每位同仁都整理分工專題的導學案.筆者所分專題是數形轉換，在任務下達之后，筆者認真分析了2018年江蘇各地中考試題，從字里行間搜尋出一些解題策略，編寫進導學案中讓學生自主探究，對這部分知識進行了再認知、再運用.

一、小題大做，讓學生學會舉一反三

在中考備考的后期，很多學校的做法都是讓學生下題海.的確，題海戰術能夠讓學生掌握一些解題技巧，領會一些做題方法.然而，丟掉課本，將基礎知識拋到腦后，做題知其然而不知其所以然.為了讓學生不忘初心，必須將專題融于教材知識，使學生學會舉一反三.

在專題的“深入思考”部分，筆者選用了2018年江蘇淮安的兩道中考試題：

深入思考：題1：如圖1，三角板的直角頂點落在矩形紙片的一邊上，若∠1=35°，則∠2的度數是_________.（筆者將選擇題改為填空題）

圖1

圖2

思考：（1）圖1中的∠2有同位角、內錯角嗎？∠2是哪一個三角形的外角？

（2）如圖2，若∠1=40°，則∠2的度數是___________.

圖3

題2：如圖3，菱形ABCD的對角線AC、BD的長分別是6和8，則其周長是________.（筆者將選擇題改為填空題）

思考：（1）菱形的定義是什么？對角線有什么關系？

（2）該菱形BC邊上的高是______________.

（3）將這四個三角形用剪刀分開，然后重新拼接，證明對角線與邊長的關系（即勾股定理的應用關系）.

創設目的：題1是讓學生再次熟知同位角、內錯角及三角形的外角的概念，題2是讓學生再次回歸課本厘清特殊的幾何圖形的定義，理解拼接方法在幾何證明中的應用.同時通過變式訓練，回歸基礎，從中獲取數形轉換思維方法的數學學科核心素養.

二、小題大做，讓學生學會深入淺出

在備考中適當選擇一些中考試題，可以幫助學生掌握試題難度，掌握知識的考向.可以選擇一些試題作為引領的例題，通過課堂的講解和變式訓練進行數學建模.這種建模為下一步的小題15分鐘做好鋪墊.例題是這樣規劃的：

例題：（2018年揚州市中考題）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于點D，CE平分∠ACD交AB于點E，則下列結論一定成立的是（）.

圖4

A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC

試題變式為：①（題干同上）則下列結論一定成立的是（）.

A.∠BEC=∠EBC B.∠EBC=∠BCE

C.∠BEC=∠BCE D.∠ACE=∠EAC

②若∠A=40°，求∠BEC的值.

創設目的：讓學生明確在三角形中“等邊對等角”的意義就是一種數形轉換的思維方法，在試題證明過程中需要思考的是相似三角形的對應角相等.讓學生得出∠ACD=∠B，∠B的一半與∠A不一定相等是證明的關鍵點.可以采用直角三角形的銳角是特殊值的方法進行驗證，但不能用特殊的∠A=30°處理；可以用特殊的∠A=45°處理，得出正確的答案.因此，小題大做并非是絕對的.

三、小題大做，讓學生學會自學自強

中考數學備考一定會把考查數學邏輯推理能力作為首要任務，以數學基礎知識為載體，以學生的縝密思維、嚴格推理考查核心素養.同時，通過數學文化滲透，體現數學的創造、發現和發展特點.因此，唯有通過有針對性的訓練才能對數學思維方法進行總結、提煉，才能將數學學科核心素養潛移默化.為此，筆者在導學案的最后做了一個15分鐘的檢測.

練習1：已知：如圖5，在Rt△XYZ中，∠XZY=90°，ZW⊥XY于點W，回答下列問題：

圖5

（1）找出圖中的相似三角形；

（2）求證：XZ2=XW·XY，YZ2=YW·XY；

（3）若XW=2，WY=8，求XZ、YZ、ZW；

（4）若XZ=6，YW=9，求XW、ZW、YZ；

（5）求證：XZ·YZ=XY·ZW.

練習2：如圖6，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AF平分∠CAB交CD于點E，交CB于點F，且EG∥AB交BC于點G.

（1）找出圖中的相似三角形.

（2）下列結論一定成立的是（）.

A.AE=EC B.EC=EF C.BG=BE D.CF=BG

寫出證明過程.

圖6

圖7

練習3：如圖7，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP⊥AB于點P，過點P作PQ⊥BC，△BPQ的邊PQ上的中線BO的延長線交AC于點R.

（2）證明：點R平分線段AC；

（3）求證：AP·BP=CQ·CB；

（4）若AR=OR，求BO∶RO；

（5）在條件（4）下，若BC=17，求BD的長.

創設目的：練習1是基礎題，是針對課堂所學習的概念進行檢測的，有利于學生回歸課本；練習2是中檔題，讓學生循序漸進，通過猜想與證明，找到一種發現數學規律的途徑，也是對數學問題的質疑、發現和解疑的過程；練習3是拔高題，讓學生在備考復習中不但掌握數學解題方法，更重要的是站高望遠，這才是“小題大做”的真正意義.

總之，備考并非是只有那些拔高題和“大題”才能訓練和形成學生的數學學科核心素養.只要教師多研究各地市的中考試卷，開闊思路、集體研討，將眾多的基礎題、常規題中滲透數學思想方法，就一定能夠培養學生的解題能力.學生在教師的正確引領下，抓住數學學科核心素養，教師下題海，學生駕輕舟.對于小題，從概念、公式入手，到認知題干、厘清方法，最終內化為自己的能力.另一方面，在平時的演練過程中提倡學生“小題小做”，可以采用猜想答案的特殊值法，可以是“投機取巧”，也可以是“避重就輕”.但是在課堂上必須培養學生的“小題大做”能力，盡量變式拓展，讓學生自主發掘這些“小題”所蘊含的數學思想和方法，而不是為做題而備考，為應試而備考.只有這樣，才能凸顯數學的精髓，才能在做每一個題目時彰顯數學學科核心素養.