貫通思路一題多解，同類鏈接“一題一課”
——以一道源自“課標案例”的較難習題為例

☉江蘇省蘇州市相城區春申中學 尤方成

最近研習一些中考較難復習題時，碰到一道源自“課標（2011年版）”的習題，安排學生練習后，多數學生不能順利獲得思路，引發我們對這道考題進行深入思考，并構思了這道題的解題教學微設計，供分享和研討.

一、考題及思路解析

考題：當實數b0=______時，對于任意給定的實數m和n，使得對任意的實數b，有（m-b0）2+（n-b0）2≤（m-b）2+（n-b）2.

解法1：由于b是任意的，所以可令b=x，把（m-b）2+（n-b）2整理配方，根據二次函數的性質即可求得答案.

解法2：由（m-b0）2+（n-b0）2≤（m-b）2+（n-b）2，得-mb0-nb0+b02≤-mb-nb+b2.

設關于b的二次函數f（b）=b2-mb-nb，當時，f（b）取最小值，則

解法4：設點A（m，n）、B（b0，b0）、C（b，b），其中B、C兩點在直線y=x上.

AB2=（m-b0）2+（n-b0）2，AC2=（m-b）2+（n-b）2.

AB2≤AC2，即AB≤AC.

問題可轉化為：已知定點A（m，n），點B為直線y=x上任意一點，當線段AB的長最小時，求點B的坐標.如圖1，當AB垂直于直線y=x時，線段AB的長最小.

可求出直線AB的解析式：y=-x+m+n.

圖1

解后反思：這道考題的本質是，已知定點A（m，n），點B為直線y=x上任意一點，當線段AB的長最小時，求點B的坐標.

社會服務能力是指教師在學校以外的環境中服務社會，滿足社會需求，進行社會活動的能力。作為應用型本科院校教師，在工作之外，還應具備利用專業知識為社會服務的能力，但目前這方面能力被許多教師所忽視。

思路回顧：通過畫圖可以發現當AB垂直于直線y=x時，線段AB的長最小，難點在于如何求出點B的坐標，可以通過構造圖像解決，如圖2（還有其他構造方法），也可以先求直線AB的解析式，再求直線AB與直線y=x的交點的坐標.

圖2

圖3

解答之后，我們還可以繼續構造圖4，看清上述答案的“合理性”.

比如，圖4中，利用△ABC是等腰直角三角形，BE⊥AC，點B與點E的縱坐標相等，點E為AC的中點，得出

圖4

二、圍繞考題的解題教學微設計

教學環節（一）引入定義，熱身練習

說明：開課之初，先跟學生約定形如y=ax2+bx+c的關于x的二次函數，為了本課后續研究的方便，我們將其表示為f（x）=ax2+bx+c.

例1 已知二次函數f（b）=b2-3b，對任意的實數b，有f（b）≥b02-3b0，則實數b0=_______.

教學預設：由二次函數的最值問題引入，b0就可以看作二次函數取最小值時b的取值，當時，f（b）最小，即

預設變式：當實數b0=______時，使得對任意的實數b，有（1-b0）2+（2-b0）2≤（1-b）2+（2-b）2.

設計意圖：將不等式（1-b0）2+（2-b0）2≤（1-b）2+（2-b）2化簡，可得b2-3b≥b02-3b0，就可以轉化為二次函數的最值問題.將不等式與二次函數相結合，互相轉化，也是滲透高中數學中不等式恒成立的重要思想.

教學環節（二）從特殊到一般，變式探究

例2 已知二次函數f（b）=b2-b-mb，對于任意給定的實數m，使得對任意的實數b，有f（b）≥b02-b0-mb0，則實數b0=______.

教學預設：由例1到例2，是從特殊到一般，加入一個參數m.有了例1的鋪墊，此時學生更容易理解將m看成參數，而不看成變量.

預設變式：當實數b0=______時，對于任意給定的實數m，使得對任意的實數b，有（1-b0）2+（m-b0）2≤（1-b）2+（m-b）2.

設計意圖：將不等式（1-b0）2+（m-b0）2≤（1-b）2+（mb）2化簡，可得b2-b-mb≥b02-b0-mb0.有了以上兩個變式的引導，學生更容易理解這就是一個二次函數的最值問題.

教學環節（三）拓展生長，挑戰難題

例3 已知二次函數f（b）=b2-mb-nb，對于任意給定的實數m、n，使得對任意的實數b，有f（b）≥b02-mb0-nb0，則實數b0=_______.

教學預設：由上面例1、例2及變式的研究，為學生帶來一些鋪墊式問題，有利于學生從二次函數的最值角度進行思路突破.

預設變式：當實數b0=_____時，對于任意給定的實數m和n，使得對任意的實數b，有（m-b0）2+（n-b0）2≤（mb）2+（n-b）2.

設計意圖：最后回到上文“考題”探究，讓學生獲得不同的解法，靈活求解.

三、關于較難習題研究的進一步思考

1.教師要深度研究不同解法

教師研究解題不同于學生解題，需要追求深度研究.這里的深度研究是指針對較難習題不但要突破思路，而且要追求不同思路、不同路徑貫通思路，也就是一題多解的思考，然而這才是第一步，還需要針對不同解法進行比較，也就是鄭毓信教授倡導的“善于比較”“善于優化”的專業基本功.進一步，在解后反思回顧環節，要站在更高的觀點想清辨明這道習題的深層結構，并基于學情現狀，預設學生可能的障礙點、關鍵步驟等.以上文考題為例，它的深層結構從“形”上說是點到直線y=x的距離問題，從“數”的角度可以用二次函數來理解.

2.研究同類問題與加強鏈接

為了較好地研究這類較難問題，需要搜集一些同類問題并加強同類鏈接，這是后續走向教學的關鍵所在，因為同類問題是預設解題教學微設計的重要素材.在研究同類問題和加強鏈接時要注意，問題的選取不只是形式上的趨同，更要力爭從“形同”走向“質同”，特別是要關注“形異而質同”問題的鏈接，這樣才是促進學生深刻理解、練就眼力的重要“學材”.值得一說的是，現在有不少題庫網站，在檢索相應試題時提供了“關鍵詞”方式進行查閱，這大大方便了我們檢索一些“形同”問題，但是對“形異質同”問題往往難以檢索出來，這就需要靠教師在平時的解題研究中注意整理、收集，功夫重在平時，說的也是這個道理.

3.重視預設解題教學微設計

較難習題的講評是很多教師經常開展的日常教學任務之一，然而預設不充分的較難題的講評，往往效果不佳.即使是優秀學生往往也是貌似聽懂，遇到稍一變式的問題，仍然不會獨立解答.究其原因，是因為對這類較難題的理解不夠深刻，同類跟進的訓練還不到位，這也提醒我們，開展較難題講評之前，要充分備課，預設解題教學微設計來促進學生深刻理解.上文我們提供的一種解題教學微設計的理解視角，讓學生從二次函數最值分析的視角進行思考求解，通過一系列的鋪墊式問題，鋪平墊穩，拾級而上，避免學生過分依賴“形”的直觀而把時間都消耗在“構圖分析”上.但是在講評過程中，還是需要注意加強“數、形”的互動與呼應，幫助不同思維風格的學生更好地理解這類問題.