對一道幾何綜合題的閱卷記錄與思考

☉江蘇省揚州市邗江區黃玨學校 趙萬兵

一次中考模考練習后，備課組采用“流水閱卷”，筆者承擔的是一道幾何綜合題的閱卷任務，批閱幾何綜合題，雖然辛苦，但也增加了對這道幾何綜合題的深刻理解，特別是對一些典型錯誤有了更直接的記錄.本文整理這道幾何綜合題的閱卷記錄，并跟進教學思考，供分享.

一、幾何綜合題及思路突破

幾何綜合題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以邊AC上一點O為圓心、OA長為半徑的⊙O經過點B.

（1）求⊙O的半徑；

（2）點P為弧AB的中點，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長；

（3）在（2）的條件下，連接PC，求tan∠PCA的值.

圖1

圖2

解法概述：（1）如圖2，連接OB.

由OA=OB，得∠ABO=∠A=30°.

由∠ACB=90°，∠A=30°，得∠ABC=60°.

則∠OBC=30°.

（2）如圖2，連接OP.

由點P是弧AB的中點，得OP⊥AB，則∠QPO=∠A=30°.

二、閱卷記錄與常見錯誤

錯解1：審題不清.第（2）問中，條件“點P為弧AB的中點，作PQ⊥AC，垂足為Q，求OQ的長”，很多學生將弧AB理解為線段AB，將點P取到線段AB上去，接下來的解答肯定就不符合題意了，導致失分.

錯解2：對在同圓或等圓中等弧所對的圓心角相等這一概念理解不到位.比如，由于題目中有條件：點P為弧AB的中點，立即想到在同圓或等圓中相等的弧所對的圓心角相等，直接就寫出∠PCA=∠PCB，但這兩個角并不是圓心角，因此后面的解答顯然無意義.再有，在第（1）問的基礎上，有很多學生結合題目中的∠ACB=90°這一條件，直接得到∠PCA=45°，從而得到tan∠PCA=tan45°=1.

錯解3：錯將∠PCA理解為圓周角.比如，在第（1）問的基礎上，很多學生求出∠AOB=120°，這時候看到條件“點P為弧AB的中點”，得到弧AP的度數是60°，直接就寫出∠PCA=30°，所以就有了錯誤的結果tan∠PCA=tan30°

錯解4：誤認為OC是半徑.在第（1）問的求解中，有很多考生在求出線段CO后，直接認為半徑為

錯解5：對含30°角的直角三角形三邊之間的關系運用不熟練.

在第（1）問的求解中，很多考生求出△ABC是有一個角是30°的直角三角形，其中∠CAB=30°，∠ACB=90°，邊BC=1，立即得到邊AC=2，設OC=x，AO=2-x，AO=BO，則（2-x）2=x2+1，解得x=.很顯然是沒有理解“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”這一性質.

閱后感：平時的教學中，要注意加強學生解題后的反思，看看自己所做的答案是否符合題意.像這樣的錯誤，只要學生能做到稍微反思一下自己的解答與題目中的條件，就會很快發現自己的解答是有問題的，不至于出現這樣啼笑皆非的解答.

錯解6：運算不過關.

錯解7：錯用垂徑定理.

由點P為弧AB的中點，得PC⊥AB，而這里點P不是圓心，故沒有這樣的結論.

錯解8：對三角函的概念理解不清.

錯解9：瞎做一通.

由點P是弧AB的中點，得AQ=OQ（亂做一通，沒有任何依據）.由AO=，得AQ=OQ=.（結果也不約分）在沒有任何依據的條件下想當然地直接寫出了四邊形PBCQ是一個正方形.

閱卷隨感：這是一道作圖加解答的幾何題，題目新穎，一改以前將一個完整的題目呈現在學生面前，需要考生認真讀題，并按照題目的要求作出相應正確的圖形，然后才能解出正確答案，考查了學生的動手作圖能力，也引導教師在平時的教學中要注重讓學生多動手，不能越俎代庖，剝奪學生的實際操作訓練.在正確解題過程中，也發現一些學生的思維能力比較強，會巧妙利用平時學習過程中探究的一些結論，比如，含30°角的直角三角形的性質，頂角為120°的等腰三角形的性質，在解題的過程中能起到事半功倍的效果，雖然這些不是課本上直接出現的結論，但是閱卷組的老師們認為這些考生平時學習認真，敢于探究，建議不扣分，鼓勵學生認真學習，敢于探索，讓他們在平時的學習中有成就感.

三、由閱卷引發的教學思考

1.平時解題教學要多展示“一般學生”的解法

平時解題教學過程中，因為教學進度或教學內容的原因，我們往往過多地安排優秀學生講解、互動，或拿優秀學生的解法直接投影，讓其余學生核對、記錄答案，一般學生的不當解法往往被“遮蓋”、隱藏、無視，這樣教師自我感覺良好，教學任務完成了，但是經常在考試之后發出一些感嘆“我都講過幾遍了，你們怎么還是錯的”.結合這次閱卷所見，學生以上一些低級失誤、錯誤，也許本來就存在，只是在平時課堂教學、解題教學過程中，被我們無視，這也就啟發示我們在平時解題教學過程中，要多多展示“一般學生”的解法，不能為了趕進度、多講題而隱藏他們的錯誤.

2.利用錯誤的生成性資源組織學生參與診評

當我們重視“一般學生”的解法展示之后，就會有很多錯誤的生成性資源出現，這時教師要組織學生參與進來，讓學生一起閱讀、參與評價這些“不良解法”，并安排優秀學生參與糾錯與究錯，這樣既能幫助“一般學生”修正錯漏，又讓優秀學生站在高處審視、評價他人的錯漏，也是一次難得的能力提升.著名特級教師華應龍老師近年來倡導的“化錯教育”正是重視課堂上一些錯誤資源的教學運用，這也是值得我們在初中數學課堂教學（特別是解題教學）中積極嘗試的.如上文閱卷記錄所見，如果我們平時忽視學生可能的錯漏解法，他們就可能在獨立答題的考場反復上演這些“無奈的錯誤”.

3.幾何綜合題要重視規范而簡潔的語句組織

從我們在閱卷過程中所見，錯誤類型中有很多是因為幾何推理語句的組織不當，推證或演算過程不規范，缺步、跳步解答普遍存在，這也對幾何教學提出了較高的要求.事實上，根據平面幾何教學經驗，有些中等學生往往也能很快貫通思路，但是寫成的幾何語句缺步、跳步，或想當然地人為添加了一些條件，使得閱卷過程中對這類學生的評價非常麻煩，如果認定他們“高位錯漏”就會造成“扣大分”，如果判定他們是“筆誤”式的少寫一步、跳步解答，則可判為“不扣分”或“扣小分”，相信這樣的糾結很多閱卷老師都有同感.這也啟示我們，幾何解題語句的教學仍有待加強，讓學生在思路貫通之后先打草稿，然后精心組織語句的先后順序，審查有沒有跳步、漏寫推理關鍵步驟之處，這樣再寫到答題區域，養成習慣，堅持訓練一段時間之后，也許幾何解題步驟或語句組織方面的能力就能得到相應的提升.