關注隱性課程資源中數學思想方法的運用*
——“分類討論思想運用專題復習”設計與思考

☉江蘇省無錫市江南中學 高峰官

進入中考二輪復習，不少教師會重視和加強數學專題的復習與研討，而數學思想方法的運用是中考復習中的重要內容.分類討論思想貫穿于整個中學數學學習的全部內容中.初中數學主要有四大模塊：數與代數、概率與統計、幾何與圖形、實踐與綜合.每一模塊的學習都與分類討論思想有著密切的聯系.筆者圍繞分類討論法的運用，結合四大模塊的學習，開設了一節專題研討課，取得較好的教學效果.

一、教學設計

模塊1：數與代數與分類討論

初中數學中，較早運用分類討論思想的就是絕對值的概念及運用.

例1化簡：y=|x-1|+|x-2|.

例2已知方程（a+2）x2-x-3=0有解，求a的取值范圍.

例3已知函數y=kx+b，若1≤x≤3時，有4≤y≤6，求函數的表達式.

例4（2018年無錫中考）一水果店是A酒店某種水果的唯一供貨商，水果店根據該酒店以往每月的需求情況，本月初專門為其準備了2600kg這種水果，已知水果店每售出1kg該水果可獲利潤10元，未售出的部分每千克將虧損6元.以x（單位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月對這種水果的需求量，y（單位：元）表示水果店銷售這批水果所獲得的利潤.

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）問：當A酒店本月對這種水果的需求量如何時，該水果店銷售這批水果所獲的利潤不少于22000元？

模塊2：概率與統計與分類討論

例1一只不透明布袋中有大小、形狀完全相同，只有顏色不同的紅球2只，白球3只，現從中摸出1球，記下顏色后放回，再從中摸出1只球，求兩次都是紅球的概率.

你還可以提出什么問題？

變式：若從中摸出1球，記下顏色后不放回，再從中摸出1只，求兩次都是紅球的概率.

此問題也相當于：若一次性從中摸出兩球，求兩球均為紅球的概率.

例2某廠生產A、B兩種產品.其單價隨市場變化而做相應調整.營銷人員統計出前三次單價變化的情況，

表1 A、B產品單價變化統計表

現該廠決定第四次調價，A 產品的單價仍為6.5 元/件，B 產品的單價比3 元/件上調m%（m＞0），使得A產品這四次單價的中位數是B產品四次單價中位數的2倍少1.求m的值.

模塊3：幾何與圖形與分類討論

幾何與圖形中運用分類討論思想的內容也很多，給我們印象最深的是圓周角定理的證明.證明分三種情形討論：（1）圓心在圓周角一條邊上，（2）圓心在圓周角的內部，（3）圓心在圓周角的外部.第二種與第三種情形又可化為第一種情形去解決.定理的證明過程很好地體現了分類討論和化歸的數學思想方法，讓我們體會到分類的標準要統一，做到不重復、不遺漏.

例1如圖1，線段OA的一端點O在直線a上，OA與a不垂直，以OA為一邊畫等腰三角形，并且另一點P也在a上，則這樣的點P有（）個.

圖1

例2（2008年無錫數學中考）已知一三角形的兩條邊長分別是3cm和4cm，一個內角為40°.

（1）請借助圖2，先畫出一個滿足題設條件的三角形；

（2）滿足條件的互不全等的三角形共有多少個？

（友情提醒：標出已知角的度數和已知邊的長度）

圖2

圖3

模塊4：實踐與綜合與分類討論

例1如圖3，正方形的邊長為3cm，現有一腰長為4cm的等腰直角△ABC以1厘米/秒的速度沿直線l向正方形移動，設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ycm2.請寫出y與x的函數關系式.

經師生共同探討，運動過程可以分解如下：

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

結合以上圖形運動，本題分成以下五種情形加以討論：0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤6，6＜x≤7，x＞7.

在小結時教師需強調：要找好分界點，分類要全面，不重復，不遺漏.要引導學生認識到：圖形運動問題已成為數學學習和中考的熱點，如何演示和分解運動的全過程，往往成為引導學生思考、解決問題的關鍵所在.在此案例中，就是通過分解整個圖形運動過程，幫助學生尋找圖形運動的分界點，從而確定時間的分段區間，引導學生正確分類討論.

例2（2007年無錫中考題）已知：在△ABC中，∠C是其最小的內角，過頂點B的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三角形，請探求∠ABC與∠C之間的數量關系.

在此案例中，教師應引導學生分層次分類討論，做到層次清晰：

圖14

圖15

圖16

二、教學設計思考與教學反思

1.正確認識和運用分類討論思想方法.

數學思想往往蘊含在數學知識中，揭示了深層次的數學本質，是數學學習的靈魂與精髓，也是重要的數學隱性課程資源.正如日本著名數學教育家米山國藏所言，在學校學的數學知識，畢業后若沒機會運用，一兩年后，很快就忘了.然而不管他們從事什么工作，唯有深深銘記在心中的數學的精神、思維方法、研究方法、看問題的著眼點，卻隨地隨地發生作用，使他們終生受益.初中數學涉及的數學思想方法主要有函數與方程、數形結合、分類討論、化歸、類比聯想、數學模型等.其中，分類討論是常用的思想方法，能優化學生思維、提高學生解題能力，也是歷年數學中考命題的熱點和難點，特別是體現在綜合探究題型中.本節課專題探討分類討論思想在數學學習中的運用.

所謂分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想.分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論從而解決問題的一種數學方法.

分類討論思想，貫穿于整個中學數學學習的全部內容中.初中數學主要有四大模塊：數與代數，概率與統計，幾何與圖形，實踐與綜合.分類討論與每個數學模塊的學習都有著密切聯系.

分類討論思想和其他數學思想方法的學習方式一樣，往往需經歷三個過程，一是滲透和了解，二是理解和運用，三是拓展和融通.這三個過程不是一蹴而就、持續'上升的，而是要結合具體的學習內容、學習情境和過程體驗螺旋式上升的.

分類討論的正確運用，需要遵循以下三個基本原則：

（1）標準必須統一，否則會導致邏輯混亂，各個分類沒有公共部分，否則會造成重復討論；

（2）分類必須是全面而完整的，否則會有所遺漏；

（3）對于需要多級討論的，必須逐級進行，不能出現越級討論的現象，否則會導致層次不清，乃至錯誤.

此外，在確保正確的基礎上盡量減少分類，使問題解決過程簡潔化.

分類討論既是一種重要的數學思想、一種邏輯方法，也是一種重要的解題策略.它體現了化整為零、積零為整的數學思想與歸類整理的方法.它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生歸納知識，使知識條理化，有助于完善學生的認知結構.

2.注重教學環節的整體設計

本節課圍繞分類討論方法這一主線，有機地將初中數學的四大模塊知識與分類討論思想巧妙結合起來，從而加深學生對分類討論思想方法的深層認識和熟練拓展運用.

作為一節專題復習課，構思精巧，結構完整：數與代數與分類討論，概率與統計與分類討論，幾何與圖形與分類討論，實踐與綜合與分類討論，課堂教學體現了整體設計的思想.在平時分章節的教學中，分類討論思想方法的運用時有出現，但較為零散，給學生的印象并不深.本節課試圖通過分類討論思想方法這條主線，將零散分布在各章節中的討論問題像珍珠一樣串聯起來，形成一個整體.通過典型的例、習題分析，挖掘和展現四大模塊與分類討論的內在聯系，結合師生間的協作與互動、探究與生成，形成一個可以讓我們歸類與總結、回味與深思的數學課程資源，從而拓寬學生的數學視野，形成整體的數學學習觀.

3.關注數學隱性課程資源的開發與利用

數學思想方法、數學美和數學精神等都是數學知識中的文化元素，是數學隱性課程資源中的重要來源.數學教學的生命力在于課堂師生間的靈動與教學資源的生成.2016年2月，筆者所申報的課題“初中數學隱性課程資源開發與利用的實踐研究”正式立項為江蘇省“十三五”教育科學規劃課題.課題組已開展了一系列的教學研究活動.就數學思想方法這一隱性課程資源而言，筆者已經開設了兩節公開課“化歸與圓相關的最值問題”“數學思想方法與作圖解決數學問題”，取得了較好的教學效果.為將課題研究內容落到課堂教學實處，課題組選擇圍繞數學思想方法這一主題，進行分類討論思想專題教學研討，意在將隱性課程資源的開發與利用的研究通過課堂教研推向深入.

（1）引起學生對隱性課程資源的關注.

通過這節課，引導學生平時做有心人，學會和善于做題型整理和資源積累.我們可以讓學生準備一兩個專用筆記本，把相關的典型問題做一歸類，便于舉一反三，觸類旁通.歸類的方式有很多，可以是知識點歸類，可以是思想方法歸類，可以是專題探討歸類，也可以是初中和高中內容銜接歸類，還可以是數學與其他學科的融通歸類等.經常做這樣的整理，學生研究的問題就不再是零碎的，而是可以充實學生的數學認知結構、提升學生數學素養的隱性課程資源，從而促進學生的有效學習.

（2）引起教師對隱性課程資源探討的重視.

通過本節研討，讓廣大數學教師認識到，數學隱性課程資源是大量存在的，是可以開發與利用的.在教學中，有很多優質課程資源可以挖掘，這就需要我們做有心人.教師要像尋寶人一樣，不僅要做題，還要學會選題，學會歸納、綜合與分析.在平時教研中，要增強對隱性課程資源的開發意識，多建立一些數學文件夾，把相關聯的數學問題加以歸類整理，如將軍飲馬問題，這些問題通常散落在正方形、圓、二次函數等章節中學習，我們不妨加以歸類整理，并認識到這類問題的解題核心是利用圖形的軸對稱性，運用兩點之間線段最短，或三角形兩邊之和大于第三邊的知識來解決.教師要在整理題型的同時，多加反思，歸納解決這類問題所蘊含的知識要點和數學思想方法.每年各地區的中考壓軸題中都有分類討論思想方法的體現，我們不妨加以歸類、整理，從而形成隱性課程資源，便于師生專題深入探討.

（3）引發課題組對隱性課程資源研究的熱情與深入.

通過本節課的探討，讓課題組成員對課題的研究前景充滿信心，對課題的研究內容、實踐方向做到心中有底，目標清晰，結合平時備課與教學進行行動研究，從而推進本課題的深入研究.通過本次研討，我們也希望參與此次研討的老師帶動所在學校的老師共同關注這一課題的研究.基于此，本課題組對前來聽課的老師進行了一次關于數學隱性課程資源的開發與利用的問卷調查，目的在于讓老師們對這一課題的研究有一個初步了解，從而認識到隱性課程資源開發的必要性和可行性，在教學中有意識加強對數學思想方法這類隱性課程資源的重視、積累、開發與利用.

總之，在數學教學中，我們要善于將數學思想方法與數學學習內容有機融合起來，從而開拓學生的數學視野，優化學生的數學思維，提高學生分析和解決問題的能力.