基于“三個理解”的“等腰三角形復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計

☉廣東省馮大學(xué)名師工作室 ☉廣東省深圳市民治中學(xué) 余 濤

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志”.要讓學(xué)生學(xué)習(xí)生長的數(shù)學(xué)、動態(tài)的數(shù)學(xué).使學(xué)生將學(xué)過的知識通過生長、類比遷移到當下學(xué)習(xí)的知識，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，并有所收獲，那么教學(xué)設(shè)計就顯得尤為重要了.

好的教學(xué)設(shè)計能讓課堂充滿生命力，能讓學(xué)生從“學(xué)會數(shù)學(xué)的思維”向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維”轉(zhuǎn)變.所以教學(xué)設(shè)計應(yīng)該從章建躍博士提出的“三個理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)出發(fā).

一、“三個理解”理念下的北師大版八年級下冊“等腰三角形復(fù)習(xí)”的教學(xué)價值

夸美紐斯說過“找到一種教育方法，使教師因此可以少教，但學(xué)生可以多學(xué)”.具有生長力的教學(xué)設(shè)計能使課堂充滿活力，使教師和學(xué)生一起生長，一起發(fā)展.真正讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想和方法，這樣的數(shù)學(xué)才有價值.

（一）理解數(shù)學(xué)，教學(xué)設(shè)計要體現(xiàn)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性

理解數(shù)學(xué)指通過數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)系統(tǒng)，即懂得學(xué)習(xí)的知識從哪里來，要到哪里去及怎么去的問題.同時除了知識，還包括數(shù)學(xué)眼光、意識、思維、方法、文化等數(shù)學(xué)整體素養(yǎng).

“等腰三角形”在北師大版教材七年級下冊第三章“認識三角形”、第五章“生活中的軸對稱”中均涉及簡單的知識.八年級下冊第一章“證明（二）”系統(tǒng)學(xué)習(xí)了等腰三角形的概念、性質(zhì)、判定及相關(guān)計算.九年級上冊第一章“特殊平行四邊形”中還要用到等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判定，知識相對分散.讓學(xué)生感受知識生長的過程，將零散的知識變成系統(tǒng)性的知識，進一步體驗數(shù)形結(jié)合，并滲透存在性問題的思考方法和解題路徑是這節(jié)復(fù)習(xí)課價值所在.

本節(jié)課不過多追求題型的豐富，而是用6個問題搭建系統(tǒng).回憶概念性質(zhì)、構(gòu)成等腰三角形、在直角坐標系中構(gòu)成特殊等腰三角形和一般等腰三角形點的坐標等.設(shè)計的問題環(huán)環(huán)相扣，用一個圖的多次改變讓學(xué)生感受到知識系統(tǒng)的延展.用類比的數(shù)學(xué)思想讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)新、舊知識之間的通性，并總結(jié)規(guī)律和方法.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性，形成數(shù)學(xué)知識的“生長”.

（二）理解學(xué)生，教學(xué)設(shè)計要基于學(xué)生的認知基礎(chǔ)

理解學(xué)生意味著教學(xué)設(shè)計要從學(xué)生的認知出發(fā)，不僅解決當下的問題，更要著眼于學(xué)生的長遠發(fā)展.要著力挖掘出數(shù)學(xué)所蘊含資源的價值，設(shè)計出具有生長力的數(shù)學(xué)，使學(xué)生在原有的認知基礎(chǔ)上達到數(shù)學(xué)生長，發(fā)展數(shù)學(xué)能力.

“等腰三角形復(fù)習(xí)”這節(jié)課學(xué)生的認知基礎(chǔ)是等腰三角形的概念和性質(zhì)，即“兩條邊相等的三角形為等腰三角形”“等腰三角形兩腰相等”.隨著課堂的深入，之后的所有問題都以這兩點為基本的認知起點.每一個新問題都是在原有問題上進行螺旋式的提高，新、舊問題共同搭建了等腰三角形的知識系統(tǒng)，同時建立了與其他知識的聯(lián)系.引入中的概念和性質(zhì)回顧，知識構(gòu)建中的一圖多變而萬變不離其宗的探索，再到從一般到特殊再從特殊到一般的方法歸納，所有解決問題的思想都是分類討論.這樣的設(shè)計聯(lián)系前后，貫通上下，讓新知識在原有知識的基礎(chǔ)上生長，潛移默化地在學(xué)生心中種下數(shù)學(xué)的種子，并培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

（三）理解教學(xué)，教學(xué)設(shè)計符合教學(xué)的生長規(guī)律

通過6個層層遞進的問題，將本來看似孤立的知識巧妙聯(lián)系在一起，將復(fù)雜的問題分解成學(xué)生可以處理的若干個問題，使得學(xué)生的關(guān)鍵能力因為課堂教學(xué)的轉(zhuǎn)變而得到提升，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律，也符合課堂知識的生長規(guī)律.

從構(gòu)成等腰三角形的點到組成等腰三角形的邊；從點的位置到點的個數(shù)，再到點的坐標；從一般的等腰三角形變化為等腰直角三角形，再從等腰直角三角形回到一般的等腰三角形，每一個問題的提出都讓學(xué)生在教學(xué)中生長，讓學(xué)生通過不斷的變化來厘清數(shù)學(xué)中不變的規(guī)律.這也是教學(xué)生長最后需要落腳的地方.

二、“三個理解”教學(xué)價值指引下的“等腰三角形復(fù)習(xí)”教學(xué)設(shè)計

（一）情境引入

問題1：什么是等腰三角形？等腰三角形的性質(zhì)有哪些？

問題2：如圖1，能否找一點C，使得△ABC是等腰三角形？（結(jié)論見圖2）

圖1

圖2

設(shè)計意圖：從引入開始，就讓學(xué)生探索，這需要學(xué)生進行適當?shù)姆诸愑懻?從這個階段就開始訓(xùn)練用嚴謹、簡潔的數(shù)學(xué)語言來描述自己的想法.簡潔的敘述就是分別以AB為底和以AB為腰的等腰三角形.從而達到規(guī)范學(xué)生幾何語言的使用.

（二）知識構(gòu)建

問題3：如圖3，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），點P是x軸上一動點.若△POA是等腰三角形，直接寫出符合條件的點P的坐標.（結(jié)論見圖4）

圖3

圖4

問題4：如圖5，將圖3中的線段AB向左平移1個單位，點P在x軸上，是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標.（結(jié)論見圖6）

圖5

圖6

問題5：如圖7，平面直角坐標系中，點A（0，2）、B（-4，0），點P在x軸上，是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標.（結(jié)論見圖8）

圖7

圖8

問題6：如圖9，點A（-1，3）、B（-5，1），點P在x軸上，是否存在點P，使△PAB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標.（結(jié)論見圖10）

圖9

圖10

（三）綜合討論

如圖11，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B在x軸的正半軸上，OA=4，OB=3.

（1）求點D的坐標.

（2）求直線BC的解析式.

（3）在直線BC的上是否存在點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，請求出P的坐標；若不存在，說明理由.

圖11

設(shè)計意圖：等腰三角形的存在性是一個經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.讓學(xué)生先從圖形及性質(zhì)扎根，通過對知識的回憶，讓不同層次的學(xué)生都有一種學(xué)習(xí)的體驗，有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)智慧，拓展學(xué)生的思路.通過問題設(shè)置和一圖多變，一方面，引導(dǎo)學(xué)生感受圖形“變中不變”的魅力，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)本質(zhì)；另一方面，訓(xùn)練學(xué)生用規(guī)范的幾何語言，有條理地表述提出和解決問題的過程.同時滲透數(shù)學(xué)分類思想，引入坐標系讓教學(xué)自然而然生長到數(shù)形結(jié)合的方面，并且此類問題讓學(xué)生形成用圓規(guī)畫圓來解決等腰三角形（菱形）存在性問題的套路.

（四）回顧總結(jié)

問題7：請同學(xué)們回憶一下，本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？我們解決幾何問題的基本思路是什么？

設(shè)計意圖：目的是讓學(xué)生回頭想一想，對照著黑板上的圖形變化，說出自己對本節(jié)課的感悟.如果有必要，教師需主動干預(yù)，幫助學(xué)生總結(jié)研究幾何問題的基本套路.再次強化學(xué)生“概念—判定—性質(zhì)—應(yīng)用”的研究套路，以及分類討論的研究方法.

三、“三個理解”下教學(xué)設(shè)計背后的思考

（一）強調(diào)圖感，尋得規(guī)律，建立系統(tǒng)

因為學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中常常缺乏感性的識圖和理性的分析，所以數(shù)學(xué)教師在進行教學(xué)設(shè)計時必須建立在學(xué)生學(xué)習(xí)生長規(guī)律之上.本節(jié)復(fù)習(xí)課探索等腰三角形存在性問題，從一般的等腰三角形變化為特殊的等腰直角三角形，再從特殊的等腰直角三角形回到一般的等腰三角形.一個圖的變化，讓學(xué)生通過不斷變化來厘清數(shù)學(xué)中不變的規(guī)律，形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識架構(gòu).這也是教學(xué)生長的落腳點.

（二）有章可循，構(gòu)建生長的路徑

教師的教學(xué)能力體現(xiàn)在兩個方面：一是將復(fù)雜的問題簡單化，二是將簡單的問題深刻化.本節(jié)課7個環(huán)環(huán)相扣的問題提出，讓學(xué)生逐漸遞進直到難點突破.鞏固和加強學(xué)生對等腰三角形性質(zhì)的運用和對存在性問題的解決思路的理解.同時一圖到底既增強了學(xué)生的應(yīng)變能力，又使課堂充滿趣味和生機.

四、結(jié)語

哲學(xué)思想認為世間萬物發(fā)展規(guī)律和框架，即為“體”；通過思考形成解決事情的方向或者方法，即為“術(shù)”；用確定的方向或方法根據(jù)實際情況來解決問題，即為“用”.“體、術(shù)、用”三位一體，構(gòu)成解決實際問題的完整過程.

理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)即為數(shù)學(xué)教學(xué)中的“體、術(shù)、用”.

“體”是根本.萬變不離其宗，這將教師對數(shù)學(xué)的理解提升到整個教學(xué)的最高地位.如果教師連數(shù)學(xué)都不理解，何談教學(xué)？又何談教學(xué)設(shè)計？

“術(shù)”是方法.沒有放之四海而皆準的唯一教學(xué)設(shè)計和策略.這說明了數(shù)學(xué)教學(xué)要根據(jù)不同學(xué)情采取不同的應(yīng)對策略.

“用”是操作.即使同樣的課也會面臨不同的學(xué)生，各種方法的使用都不能墨守成規(guī).要將對數(shù)學(xué)的理解、對學(xué)生的理解、對內(nèi)容的設(shè)計轉(zhuǎn)化為教師每堂課上靈活的應(yīng)對.

教學(xué)設(shè)計需要教師讓書本上的數(shù)學(xué)知識活起來、生長起來.把數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力具體變成“教化”的過程.外在“教”的層面是把數(shù)學(xué)知識傳授給學(xué)生，這個是“授業(yè)”的作用；內(nèi)在“化”的層面指教學(xué)中要對學(xué)生進行數(shù)學(xué)眼光、意識、思維、方法、文化等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提升，這是“傳道”的過程.只有兩者在教學(xué)過程中統(tǒng)一，才是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價值所在.