增大問題設(shè)置的“場(chǎng)景”，促進(jìn)思維力的生長(zhǎng)
——以“分式的乘方”教學(xué)為例

☉江蘇省南京市竹山中學(xué) 黃秀旺

一、問題的提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）在“課程性質(zhì)”中指出：“數(shù)學(xué)課程能使學(xué)生掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度與價(jià)值觀等方面的發(fā)展.”然而在“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容教學(xué)時(shí)，問題設(shè)置過于封閉，開放性不夠，沒有把所學(xué)內(nèi)容放在一個(gè)有利于學(xué)生思維發(fā)展的大場(chǎng)景中，結(jié)果造成學(xué)生在學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容時(shí)，過于把落腳點(diǎn)放在技能訓(xùn)練上，學(xué)生缺乏在此內(nèi)容上的思維發(fā)展.我以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第十五章第2節(jié)“分式的運(yùn)算”第2課時(shí)“分式的乘方”為例，進(jìn)行課堂教學(xué)實(shí)踐.

本節(jié)教材的第1課時(shí)先學(xué)習(xí)分式的乘除運(yùn)算，然后從例4導(dǎo)入第2課時(shí)，我們通常的教學(xué)是：先復(fù)習(xí)分式的乘除運(yùn)算法則（可以直接回顧運(yùn)算法則，也可以通過小練習(xí)來復(fù)習(xí)），然后直接出示例4，進(jìn)入新課講授環(huán)節(jié)；通過“思考”探索分式的乘方，進(jìn)而過渡到例5，探究分式的乘方、乘除的混合運(yùn)算.整節(jié)課，訓(xùn)練為主，這也是代數(shù)課的常態(tài).

如果我們做進(jìn)一步的反思，會(huì)發(fā)現(xiàn)以上教學(xué)設(shè)計(jì)似乎缺少點(diǎn)什么.首先，從研究“數(shù)與代數(shù)”中“運(yùn)算”的角度，學(xué)習(xí)了分式的乘除運(yùn)算之后，接下來學(xué)習(xí)什么運(yùn)算，學(xué)生對(duì)此有沒有合理的思考呢？其次，分式的乘方運(yùn)算法則如何探索呢？不能僅僅按教材簡(jiǎn)單地填空作答；再次，分式的乘方、乘除的混合運(yùn)算的算法是如何建立的？這與實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算有何關(guān)系呢？以上三點(diǎn)思考，顯然突破了代數(shù)課訓(xùn)練層面，更加追求數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價(jià)值.

圖1

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.提出問題

問題1：我們學(xué)習(xí)了分式的乘除運(yùn)算，你認(rèn)為接下來學(xué)習(xí)什么運(yùn)算？

設(shè)計(jì)意圖：此問試圖引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)算的角度做深入思考，由于之前學(xué)習(xí)了整式的運(yùn)算，但沒有提及整式的乘方，故學(xué)生難以從整式的角度思考下去；繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的運(yùn)算的角度思考，即有理數(shù)運(yùn)算的角度，這時(shí)學(xué)生不難聯(lián)想到有理數(shù)的乘除法之后學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方，進(jìn)而猜想接下來要學(xué)習(xí)分式的乘方.此設(shè)計(jì)，類比有理數(shù)運(yùn)算，滲透數(shù)式通性，貫穿一致性，讓學(xué)生的思考來得自然.

2.探究分式乘方的法則

問題2：你打算怎么研究分式的乘方運(yùn)算？

追問1：分式的乘方是一個(gè)什么樣的形式？不妨寫一寫.

設(shè)計(jì)意圖：首先從分式及乘方兩個(gè)關(guān)鍵詞中獲得“樣子”，學(xué)生自己寫出“樣子”，這本身就是一種“發(fā)現(xiàn)”，也是對(duì)分式概念及乘方的再理解.

追問2：寫出探究分式乘方運(yùn)算法則的過程，并說一說如何想到的.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生可以類比分?jǐn)?shù)的乘方進(jìn)行探究，從特殊到一般歸納出分式的乘方法則；或根據(jù)之前探究同底數(shù)冪乘法、冪的乘方、積的乘方的經(jīng)驗(yàn)，直接根據(jù)乘方的意義，獲得分式的乘方法則.

3.分式的乘除、乘方的運(yùn)用

問題3：至此，我們學(xué)習(xí)了分式的乘除法、分式的乘方，按照運(yùn)算的級(jí)數(shù)劃分，有哪些情形？請(qǐng)舉例說明.

設(shè)計(jì)意圖：把分式的乘除法、乘方置于運(yùn)算系統(tǒng)里整體理解，有利于學(xué)生整體建構(gòu)數(shù)與式的運(yùn)算.有單一的分式乘方、分式乘法、分式除法，有含兩個(gè)及以上的多個(gè)運(yùn)算，如分式的乘除法，含乘方、乘除法的混合運(yùn)算等.這樣的問題引導(dǎo)，力避學(xué)生按部就班接受式的訓(xùn)練，不僅會(huì)做題，還明白為什么做這些題、怎樣做這些題.

設(shè)計(jì)意圖：借助有理數(shù)乘除混合運(yùn)算的方法，獲得分式的乘除混合運(yùn)算的一般思路，也就是說像有理數(shù)乘除混合運(yùn)算一樣，分式的乘除混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算.同樣，借助有理數(shù)乘除、乘方混合運(yùn)算的方法，獲得分式的乘除、乘方混合運(yùn)算的一般思路，數(shù)與式有相同混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除.

4.課堂小結(jié)

問題4：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，不僅僅獲得分式乘除法的運(yùn)算思路、分式乘方的法則、分式乘除及乘方混合運(yùn)算的順序，還引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探究結(jié)論過程中的數(shù)學(xué)思考，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)式運(yùn)算的認(rèn)識(shí).

三、教學(xué)思考

1.將“課時(shí)內(nèi)容”置于節(jié)、章、模塊中思考

除了復(fù)習(xí)課、習(xí)題課、試卷講評(píng)課，通常一個(gè)課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，多數(shù)為一個(gè)概念或一個(gè)定理、一個(gè)法則，這就容易造成我們教學(xué)設(shè)計(jì)的視角較窄，往往就知識(shí)點(diǎn)論知識(shí)點(diǎn)，只見樹木不見森林，無(wú)形中讓數(shù)學(xué)的學(xué)科育人價(jià)值大打折扣，長(zhǎng)久下去，學(xué)生不會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)，喪失對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的‘生長(zhǎng)點(diǎn)’與‘延伸點(diǎn)’，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.”

本節(jié)課的設(shè)計(jì)告訴我們，如果把課時(shí)內(nèi)容置于“分式的運(yùn)算”“代數(shù)式的運(yùn)算”“數(shù)與式的運(yùn)算”這些不同層次的背景中，我們會(huì)產(chǎn)生許多“疑問”：學(xué)習(xí)了分式的乘除法，接下來學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？怎么學(xué)習(xí)新內(nèi)容？分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算、有理數(shù)的運(yùn)算有什么聯(lián)系？等等.當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)關(guān)注這些疑問時(shí)，學(xué)生獲得的不僅僅是運(yùn)算的技能，還能獲知分式乘方在運(yùn)算中的地位，還能獲知不同運(yùn)算的前后聯(lián)系，也能獲得探究問題的方法，思維得到了充分的發(fā)展，同時(shí)積累了更多數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2.思維生長(zhǎng)需要有效問題的引導(dǎo)

學(xué)生只有真正思考了，思維才能得到發(fā)展.杜威曾說過：“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會(huì)思維，教育的目的不是學(xué)會(huì)知識(shí)，而是習(xí)得一種思維方式.”有效問題的價(jià)值體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)真正意義上的理解與掌握，并由此激活學(xué)生的思維.然而，許多課堂缺少有效的問題引導(dǎo)，特別是代數(shù)內(nèi)容的課堂.就本節(jié)課而言，容易上成習(xí)題課：學(xué)生在教師的安排下練習(xí)—校對(duì)—訂正—再練習(xí)（題組呈現(xiàn)），結(jié)果能正確計(jì)算，但學(xué)生并不知道本節(jié)課內(nèi)容在“數(shù)與代數(shù)”中的地位與作用，學(xué)生沒有經(jīng)歷“提出問題—分析問題—解決問題”的過程，而這個(gè)過程是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并且新問題是在原問題的基礎(chǔ)上自然生成的，讓學(xué)生的思考變得自然、變得必然.

3.處理好技能訓(xùn)練與能力發(fā)展之間的關(guān)系

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，技能訓(xùn)練是必須的，問題的關(guān)鍵在于是不是在合適的時(shí)機(jī)訓(xùn)練.日常教學(xué)中，有的教師重技能訓(xùn)練，忽視法則的建構(gòu)，明顯特征是探究過程不充分，使得整節(jié)課變成技能訓(xùn)練課，這不利于學(xué)生能力的發(fā)展.

以本節(jié)課為例，學(xué)生在探究分式乘方法則時(shí)，要嘗試，要發(fā)現(xiàn)，這個(gè)環(huán)節(jié)有技能訓(xùn)練，也就是將技能訓(xùn)練融入在探究發(fā)現(xiàn)中；在明晰分式乘除、分式乘方之間關(guān)系，以及分式混合運(yùn)算的幾種情形后，再進(jìn)行技能訓(xùn)練，也就是將技能訓(xùn)練放在宏觀層面的思考之后進(jìn)行，讓技能訓(xùn)練有目標(biāo)指向、有方法指引、有先前經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo).F