核心素養下的數學實驗整體化策略研究
——以圓周角的教學為例

☉江蘇省無錫市東林中學 方薇燕

策略研究是從觀念走向行動的研究，一般需要從理論上給出實踐的操作思路和操作方法.數學實驗整體化教學的基本思路如下：從問題情境出發，設計研究步驟，有目的地設計和進行探索性實驗，發現規律、提出猜想、進行證明或驗證.下面以蘇科版教材九年級上冊“圓周角”為例，說明數學實驗整體化策略研究的思路和操作方法.

一、“整體化”的教學策略

1.整體化設計探究情境，激活認知情趣

第一步，情境引趣——生成感知.

在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角∠ABC有關.（教師出示圖片，圖略，提出問題）圖中∠ABC是圓心角嗎？什么是圓心角？圖中∠ABC有什么特點？（學生通過與圓心角的類比、分析、觀察得出∠ABC的特點，進而概括出圓周角的概念，教師引導并板書）定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角.概念辨析：判斷下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由.（圖略.通過概念辨析，讓學生理解圓周角的定義，提高學生的語言表達能力，教師強調知識要點）強調：圓周角必須具備的兩個條件：①頂點在圓上，②兩邊都與圓相交.

第二步，操作觀察——升華感知.

畫一個圓心角，然后畫同弧所對的圓周角.你能畫多少個圓周角？用量角器量一量這些圓周角及圓心角的度數，你有何發現呢？（教師提出問題，學生作圖、度量、分析、歸納出發現的結論）

在圓周上取點C，度量∠ACB，拖動點C，∠ACB的大小變化嗎？∠ACB與∠AOB的大小有什么關系？

創設情境是數學實驗教學過程的前提和條件，其目的是為學生創設思維場景，激發學生的學習興趣.問題情境的創設要精心設計，要有助于喚起學生的積極思維.

圖1

二、整體化設計探究過程，進行實驗研究

1.經歷有效的微探究過程，完善認知結構

實驗過程如下：①學生動手用幾何畫板畫出圖形，拖動點A、B，進行試驗并記錄下實驗數據；

圖2

②拖動點C，探索出點O和∠ACB的三種位置關系；

圖3

③在⊙O內、外取點P、Q進行試驗，探索結論是否正確.

圖4

整體設計的數學實驗過程是真正的核心環節，實驗首先通過度量，比較兩邊都與圓相交且頂點分別在圓上、圓內、圓外三種情形的角的度數，發現三種情形之間角的大小關系.

學生采取小組合作的學習方式進行探索發現，教師巡視指導，啟發并引導學生，通過添加輔助線，將問題進行轉化，學生寫出證明過程，并討論歸納出結論，教師做出點評結論：在同圓中，同弧所對的圓周角相等，都等于該條弧所對圓心角的一半.在整體化拓展環節，引出重點將上述結論改為：在同圓或等圓中，等弧所對的圓周角相等嗎？（學生思考、推理、討論、總結出圓周角定理，教師板書）

根據學生的活動與實驗，引導學生做出如下的歸納和猜想：

（1）頂點在圓上，并且角的兩邊都和圓相交的角叫作圓周角；

（2）觀察、分析、比較實驗中所得的計算結果，猜想：同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對圓心角的一半；

（3）用數學符號表示猜想所得圓周角定理.

2.驗證數學實驗的正確性

對于學生的歸納和猜想，要求學生進行數學理論證明，讓學生進一步體會實驗過程中體現出來的分類討論、特殊與一般、化歸的數學思想方法.

圖5

得出圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.（教師強調圓周角定理的內容，學生思考、默記、熟悉定理，加深對定理的理解）

3.整體化應用設計，挖掘資源，培養認知策略

第一步，抓住資源——元認知策略.

例如圖（圖略），在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A.（鼓勵學生用多種方法解決問題，發散學生的思維，培養學生良好的思維品質，讓學生書寫推理計算過程，教師補充、點評，并和學生一起歸納解法.兩種解法分別應用了圓周角定理中的兩個結論，進一步對本節課的重點知識熟練深化，同時培養了學生規范的書寫表達能力）

第二步，優化資源——反省認知策略

回到一開始創設的情境，足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻，當他帶球沖到點A時，同伴乙已經沖到點B，這時甲是直接射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好（僅從射門角度考慮）？（圖略.選用學生熟悉的生活材料，讓學生通過合作交流，討論出合理的解答方法.通過本題的練習，使學生體會到生活離不開數學，從而激發學生應用數學的意識）

三、對數學實驗整體化策略研究的思考

著名的數學家波利亞曾經總結過數學學習過程的三條原則，其中重要的一條是自覺主動的學習，他認為“學習過程是積極的……自己頭腦不活動起來，是很難學到什么東西的”.學生通過數學實驗過程來學習數學，獲得感性認識，得出有用的結論，在數學實驗中觀察現象、提出問題、研究問題、解決問題，進而培養學生的想象力、解決問題的能力和思維能力.

數學實驗的整體化策略研究可以從圖6中清晰地獲得：

圖6

整體性的數學實驗教學采取探究式和發現式的教學方法，在實驗過程中，教師始終只是向學生提問，通過提問，啟發學生進行實驗設計，進行觀察、分析與思考.“歸納或猜想”一定要由學生自己得到，如果學生得不到教學預期的效果，教師應進一步引導學生再次實驗，再次觀察和分析，直到獲得成功.如果到下課時間，學生還未獲得預期的發現，教師可以指出要注意的事項，讓學生課后或在家里繼續進行實驗（作為作業），直到獲得發現為止.在整個實驗過程中，教師絕不要代替學生回答問題，學生未能獲得發現，只意味著實驗尚未完成，而教師代替學生回答問題，則表示實驗失敗.在學什么和怎么學的問題上，教師始終都起主導的作用，而整個學習過程中學生也始終處于主動學習的地位，這是整體化的數學實驗教學過程與傳統數學教學過程最大的區別.

整體化的數學實驗教學歸根到底是情境化策略的一種具體實施.情境是湯，知識是鹽，鹽只有溶于湯才好入口，抽象的數學知識只有通過具體的操作過程才能更易于學生理解和掌握.如果說整體化策略是知識之間的關系問題，那么核心素養觀下的數學實驗解決則是知識與背景、理論與實踐、數學邏輯與現實生活之間的關聯問題.從學科化的角度說，整體化的策略既對應了學科的內部化，又有效地展現了外部學科化的特點.F