于無(wú)聲處聽(tīng)驚雷，重組習(xí)題觀素養(yǎng)
——以“矩形（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉浙江省湖州市志和中學(xué) 沈雪強(qiáng)

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，明確規(guī)定：內(nèi)容設(shè)計(jì)要有彈性，關(guān)注不同學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求；課后習(xí)題的選擇與編排應(yīng)突出層次性；增加的內(nèi)容應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法，注重學(xué)生的發(fā)展，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)與作用.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要理解編者編寫(xiě)教材的真正意圖，要學(xué)會(huì)從教材例題、習(xí)題中滲透知識(shí)和提煉學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，更要深入研究它和恰當(dāng)運(yùn)用它，因此就必須要對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹亟M.

以浙教版八年級(jí)下冊(cè)第五單元“矩形”的第1課時(shí)為例，本人有幸參加了湖州市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課評(píng)比，并獲得一等獎(jiǎng)，現(xiàn)將本課的教學(xué)設(shè)計(jì)和反思進(jìn)行整理，請(qǐng)讀者批評(píng)指正.本設(shè)計(jì)主要對(duì)課本上的例題、習(xí)題進(jìn)行了適當(dāng)?shù)闹亟M與創(chuàng)新，并進(jìn)行方法的提煉與數(shù)學(xué)思想的滲透，在降低矩形兩個(gè)性質(zhì)定理運(yùn)用難度的同時(shí)，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、教學(xué)目標(biāo)及學(xué)情分析

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）理解性質(zhì)定理“矩形的四個(gè)角都是直角”“矩形的對(duì)角線相等”，并會(huì)進(jìn)行初步應(yīng)用.

（2）經(jīng)歷探索矩形過(guò)程，發(fā)展學(xué)生合情推理的意識(shí)，掌握幾何思維方法.

（3）培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰Γw會(huì)邏輯推理的思維價(jià)值，并學(xué)會(huì)欣賞美的事物.

2.學(xué)情分析

這是學(xué)習(xí)平行四邊形知識(shí)后的第一課時(shí)，同時(shí)，學(xué)生也已經(jīng)對(duì)特殊三角形具有一定的認(rèn)識(shí)，因此具備初步的邏輯推理能力及書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力.在本節(jié)課的開(kāi)端，已經(jīng)解決了矩形的兩個(gè)性質(zhì)定理的證明，接下來(lái)就是要通過(guò)例題和習(xí)題來(lái)應(yīng)用它.

二、原題重現(xiàn)

例1 已知：如圖1，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AB=4cm.

（1）判斷△AOB的形狀.

（2）求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).

課內(nèi)練習(xí)2：如圖1，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，圖中有多少對(duì)全等三角形？把它們寫(xiě)下來(lái).

課內(nèi)練習(xí)3：已知矩形的周長(zhǎng)為56，對(duì)角線的交點(diǎn)到短邊的距離比到長(zhǎng)邊的距離大4，求矩形的各邊長(zhǎng).

作業(yè)題3：已知：如圖2，過(guò)矩形ABCD的頂點(diǎn)作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

求證：∠CAE=∠CEA.

作業(yè)題5：利用矩形的性質(zhì)定理“矩形的對(duì)角線相等”證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

圖1

圖2

三、教學(xué)實(shí)施

觀察：（Ⅰ）如圖3，在矩形ABCD中，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，則圖中有哪些特殊三角形？

圖3

設(shè)計(jì)意圖：題目來(lái)源于課內(nèi)練習(xí)2，做適當(dāng)?shù)母淖儯赫胰热切巫優(yōu)檎姨厥馊切?初步建立起矩形與三角形的聯(lián)系.通過(guò)尋找特殊三角形，尋本溯源，發(fā)現(xiàn)矩形的兩個(gè)性質(zhì)定理：矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對(duì)角線相等，就是兩類(lèi)特殊三角形的根源.加深理解定理的同時(shí)，也使定理得到初步應(yīng)用.同時(shí)，通過(guò)黑板板書(shū)，規(guī)范證明等腰三角形的過(guò)程（任選一個(gè)如△AOB），為后續(xù)證明做好準(zhǔn)備.

（Ⅱ）如果∠AOD=120°，你能判斷△AOB的形狀嗎？

設(shè)計(jì)意圖：來(lái)源于書(shū)本例題.在（1）的基礎(chǔ)上，學(xué)生判斷△AOB的形狀更自然流暢，也讓學(xué)生明白等腰三角形到等邊三角形所需的條件.同時(shí)，將（1）的板書(shū)過(guò)程補(bǔ)充完整，這樣就成了原例1.

（Ⅲ）滿(mǎn)足∠AOD=120°的條件不變，如果AB=4cm，求對(duì)角線AC的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：來(lái)源于課本例題第（2）問(wèn)，突出特殊三角形的存在，將思考的問(wèn)題轉(zhuǎn)換到特殊三角形，逐步滲透轉(zhuǎn)換思想.

追問(wèn)1：你能求出此時(shí)矩形的周長(zhǎng)和面積嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求BC（或AD），將問(wèn)題集中到Rt△ABC中，以便學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)論.

追問(wèn)2：觀察圖4，你能想到直角三角形的哪個(gè)結(jié)論？

設(shè)計(jì)意圖：來(lái)源于書(shū)本課后作業(yè)第5題.將新知化歸為舊知，更易為學(xué)生所掌握，同時(shí)加深了學(xué)生對(duì)新知的理解.

通過(guò)上述問(wèn)題串，在強(qiáng)化應(yīng)用兩個(gè)性質(zhì)定理的同時(shí)，逐步將學(xué)生的思維引導(dǎo)到特殊三角形，從而讓問(wèn)題的轉(zhuǎn)化水到渠成.

變式1：如圖5，已知矩形的周長(zhǎng)為28cm，對(duì)角線的交點(diǎn)到短邊的距離比到長(zhǎng)邊的距離大1cm.求矩形的各邊長(zhǎng).

圖4

圖5

設(shè)計(jì)意圖：來(lái)源于課內(nèi)練習(xí)3.通過(guò)添加輔助線，如圖6，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥AD，將問(wèn)題再次回歸到特殊三角形，結(jié)合等腰三角形三線合一，得到E、F為中點(diǎn)，從而得到OE、OF分別是AD、AB的一半，所以設(shè)OF=x，則OE=x+1，得到方程2x+2（x+1）=14，從而使問(wèn)題得以解決.在解題中，滲透方程思想，讓問(wèn)題的解答變得更容易.

圖6

圖7

變式2：如圖7，如果過(guò)矩形ABCD的頂點(diǎn)作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：∠CAE=∠CEA.

設(shè)計(jì)意圖：來(lái)源于課后作業(yè)第5題.將基本圖形做復(fù)雜處理，讓學(xué)生在發(fā)現(xiàn)基本圖形的過(guò)程中，回顧相關(guān)知識(shí)，以便將各種知識(shí)相關(guān)聯(lián)，從而想到解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在.本題在于告訴學(xué)生，可以從題設(shè)的矩形出發(fā)，發(fā)散思維，進(jìn)行聯(lián)想，也可以從結(jié)論出發(fā)展開(kāi)聯(lián)想，只要得到AC=CE=BD即可.通過(guò)這樣的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“聯(lián)想—猜測(cè)—證明”的解決方法.當(dāng)然，如果課堂時(shí)間寬裕，可以嘗試一題多解，發(fā)散思維.

四、反思

1.重組例題，完善知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

例題重組，是以教學(xué)目標(biāo)為先導(dǎo)，抓住教材所要解決的基本問(wèn)題及其基本練習(xí).本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是矩形的性質(zhì)定理.在教學(xué)過(guò)程中逐步滲透，不斷強(qiáng)化.將例1進(jìn)行重組與創(chuàng)新，提取課內(nèi)的練習(xí)2作為觀察（Ⅰ）呈現(xiàn).通過(guò)將原圖形（矩形對(duì)角線相等的證明圖形）添加對(duì)角線的交點(diǎn)，得到新圖形，讓過(guò)程自然、流暢，便于學(xué)生觀察得到兩個(gè)性質(zhì)定理的存在，從而使問(wèn)題的指向更清晰.觀察（Ⅱ）和觀察（Ⅲ）是原始例題，感受矩形與三角形知識(shí)的緊密聯(lián)系，以便完善幾何中三角形與四邊形的知識(shí)系統(tǒng).另外，安排“追問(wèn)”，將問(wèn)題集中到直角三角形，這樣學(xué)生在回憶和應(yīng)用知識(shí)的過(guò)程中，既可以感受到知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，又可以完善知識(shí)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

2.凝練方法，提升解決問(wèn)題的能力

不管課程改革如何深化，課堂教學(xué)如何改變，有兩項(xiàng)基本工作是不變的：一是研究學(xué)生，二是駕馭教材.但這都是為了讓學(xué)生能夠更好地思考問(wèn)題和解決問(wèn)題.在設(shè)計(jì)中安排變式2，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)從條件和結(jié)論出發(fā)去尋找分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，教師再提煉方法：將仔細(xì)聯(lián)想（條件和結(jié)論），大膽猜測(cè)，具體證明，凝練為“聯(lián)想—猜測(cè)—證明”的方法，從而幫助學(xué)生提升解決問(wèn)題的能力.

3.滲透思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的核心，是學(xué)生將知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，更是學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的核心.通過(guò)觀察（Ⅰ）至（Ⅲ），滲透轉(zhuǎn)化思想，有助于學(xué)生認(rèn)清知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而將問(wèn)題抽象成一般的數(shù)學(xué)模型——特殊三角形.另外，通過(guò)追問(wèn)，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題集中在直角三角形中，借助幾何直觀，有助于對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題發(fā)揮直觀想象，為后面的變式2的研究提供思維上的借鑒，從而發(fā)展核心素養(yǎng).另外，通過(guò)變式1，導(dǎo)出方程思想，將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為等腰三角形的三線合一，從而得出中位線，并借助方程提升學(xué)生的邏輯推理能力.

從本課的案例來(lái)看，往往將課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)合的追求是一種現(xiàn)階段理想化的課堂，理想的數(shù)學(xué)課堂是多維度、多模式的，核心素養(yǎng)更是全方位、立體化的，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與理想的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)有機(jī)整合，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一次全新的嘗試.從現(xiàn)有的教學(xué)來(lái)看，筆者認(rèn)為今天這種例題重組教學(xué)是有意義的，這與高效課堂的理念不謀而合.理想的數(shù)學(xué)課堂因?yàn)楦鞣N各樣的原因，尚不能完全普及到各年級(jí)的教學(xué)實(shí)踐當(dāng)中，但是教師對(duì)于新一輪課程標(biāo)準(zhǔn)的理解和課程改革的發(fā)展趨勢(shì)，有需要超前一步的探索勇氣，這種探索有助于教師自身對(duì)于教學(xué)有更高層次的理解和更專(zhuān)業(yè)化的發(fā)展，有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，更讓數(shù)學(xué)教學(xué)站在了系統(tǒng)的高度，讓學(xué)生獲得了前所未有的視野，這便是一種成功.

總之，數(shù)學(xué)例題往往只提供一種思路，或者只承擔(dān)一種價(jià)值，但我們?cè)诶}教學(xué)時(shí)，要學(xué)會(huì)欣賞與批評(píng)，更要通過(guò)重組與創(chuàng)新，來(lái)提升課堂效率，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).