教學重、難點的教學應對：說課展示的關鍵
——觀摩青年教師圓周角定理說課有感

☉湖南省長沙市雅禮實驗中學 劉 濤

最近觀摩了一位青年教師（參加工作僅1年）模擬上課活動.這次模擬上課的展示是在“斷網”（不與互聯網連接的辦公電腦）環境下獨立備課1小時，然后模擬上課10～15分鐘.其中一位青年教師可能沒有教過九年級內容，對所給的圓周角教材（組織方復印了其中幾頁發給備課教師使用）全部實施了教學展示，使得模擬上課的時間超出3分鐘.本文先梳理該課的主要教學環節，再跟進評析，并進一步給出筆者關于“圓周角（第1課時）”的教學建議.

一、青年教師的“圓周角（第1課時）”模擬上課記錄

說明：青年教師將本課的流程設計成以下四個主要環節“基于情境，引出新知”“合作探究，豐富新知”“運用新知，變式講評”“師生小結，課后訓練”，流程清晰，學程推進富含節奏，這些都是值是肯定的，我們也按上述4個教學環節記錄梳理.

教學環節（一）基于情境，引出新知

教師先讓兩名學生到黑板上畫圓（如圖1～3），并畫出圓心角，然后在圓周上取點，再得到圓周角的概念（頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫作圓周角）.

圖1

圖2

圖3

接下來安排學生在練習本上度量并比較同弧所對的圓心角與圓周角的數量關系.如圖2、圖3，比較同弧所對圓周角∠BAC與圓心角∠BOC的大小關系.每名學生自己作圖并量角后發現：同弧所對的圓周角的度數等于這條弧所對圓心角的度數的一半.

聽課隨感：這個環節以“數學現實”（學生畫圓心角后再畫出圓周角）引出新知，較為簡潔，快速進入本課主題，值得學習.

教學環節（二）合作探究，豐富新知（分類討論，證明定理）

在學生通過畫圖并度量發現圓周角的性質之后，安排學生在小組內討論交流如何證明它們之間的數量關系，也就是由特殊到一般歸納證明圓周角定理.

教學組織：小組合作，比較組內成員各自圖形是否有不同，找出頂點位置的可能位置，比如，圓周角與對應的圓心角有三種不同的位置關系，如圖4～6.

圖4

圖5

圖6

教學組織：學生對圖4容易直接根據三角形外角性質得出∠BOC=2∠BAC；而在圖5中，作直線AD，也可利用三角形外角性質得出∠BOC=2∠BAC；在圖6中，利用外角性質及求差的等式性質，可得∠BOC=2∠BAC.

聽課隨感：這個環節教師推進過快，對于圓周角的不同位置關系如何得到沒有說清，說明教師在備課過程中對于圓周角教學難點的辨析仍然有待深入.

成果擴大：得到圓周角定理后，進一步得到以下推論，從一般走向特殊，教師很快引導學生得出“同圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”“半圓所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直角”.

聽課隨感：可能是模擬上課的時間緊張，教師在這個環節選擇了一帶而過，沒有進行解讀或停留，其實是一種教學展示的遺憾.因為圓周角定理一系列推論的教學應該是教學重點，不應該選擇一帶而過.

教學環節（三）運用新知，變式講評

例1 如圖7，圖中是兩個共斜邊的直角三角形ABD和直角三角形ABC.

問題1：取AB的中點，連接CG、DG，分析它們的數量關系.

問題2：小智發現點A、B、C、D在同一個圓上.你覺得小智的發現有道理嗎？說說你的理由.

圖7

聽課隨感：教師以兩個遞進式問題呈現這道例題的講評，教師的意圖可能是訓練圓周角性質及推論的靈活運用.然而從這兩個設問發現，訓練的目標有些偏離本課教學目標，因為處理上述問題并不需要本課所學習的新知識，只是鞏固了直角三角形斜邊上的中線性質及圓的定義.這是選題不當的表現.

例2 如圖8，點C、D在以AB為直徑的圓上，∠ACB=90°，AC=6cm，AB=10cm，CD平分∠ACB.連接CD、AD、BD.判斷△ABD的形狀，并求出△ABD的面積.

圖8

教學組織：教師先組織學生由勾股定理得CB=8cm，接著引導學生分析AD、BD如何求解，點D有何特殊位置關系，讓學生發現點D是半圓弧的中點，為進一步發現等腰直角三角形ABD提供了鋪墊.

聽課隨感：這道考題是教材上的經典習題，教師進行了教學展示，但具體細節如何處理并沒有深入展開，也許因為時間原因，教師快速推進之后，竟然又從這道例題出發，過渡到了圓的內接四邊形的概念和性質.

教學環節（四）師生小結，課后訓練.

教師抓緊模擬上課的最后1分鐘，在黑板上進行板書梳理，形成兩條知識主線.一條主線是：圓周角——概念，相關概念，定理，分類討論，邊上、內部、外部，推論.還有一條主線是：圓內接多邊形——概念，相關概念，圓內接四邊形性質.

聽課隨感：這個小結看似進行了知識梳理，完善了板書，但是板書呈現的上述內容之間的邏輯性不強，有些零亂.

評課概述：雖然教學環節是清晰的，各個教學過程都“面面俱到”地呈現了，但是這節課主要不足在于課時劃分不合理，最多只能到例題結束，后面的圓的內接四邊形不宜出現.這也是沒有教過該內容的新教師一個顯著不足，即對課時劃分沒有感覺.

二、關于圓周角定理的教學思考

1.想清辨明圓周角定理的教學重點與難點

圓周角定理是基于圓的對稱性展開研究的，具體來說，圓的軸對稱性質帶來了垂徑定理，圓的旋轉不變性帶來了“圓心角、弧、弦、弦心距”之間的關系，進一步在圓心角學習之后引出圓周角.理解這點之后，就知道圓周角新課教學的數學現實就可以畫圓，標出某段弧所對的圓心角，然后變化頂點得到圓內角、圓周角、圓外角，由于圓周角比較特殊，所以可以考慮深入研究圓周角的相關性質，這就是這節課的教學重點，而難點在于圓周角與圓心角的不同位置關系，需要安排學生充分討論，把三種不同的位置都“窮盡”，然后確認同弧所對圓周角與圓心角之間的數量關系.在確定教學重點和教學難點之后，要預設必要的教學環節鞏固重點并化解難點，這樣就會深入思考這節課的教學目標與教學進度，而不是將教材上圓周角一節中的所有內容都在一節課中呈現出來.

2.恰當選取典型例、習題并跟進變式與追問

數學概念或定理的教學，往往需要安排例、習題的訓練與講評，用以鞏固新知，體現所學新知的價值與運用.這時要特別重視教材上例、習題的功能與價值，因為編寫教材的專家挑選習題都是精心為之，并不是隨意選用，深入解讀并挖掘教材例、習題的功能是教師必修的基本功.有些教師在新課教授時隨意引用所謂全國各地“最新”中考真題，似乎體現時效性和關注中考的教學研究追求，實際上是本末倒置，因為有些中考真題雖然外形上考查的是本課的內容，但是還綜合了其他一些章節的相關知識點，這時盲目選用到新課進行訓練，就會出現內容效度不精準的問題.當然，教師針對學情結合教材例、習題進行一些調整、優化也是必要的，比如上文例2就很方便地得到一些變式與拓展（求弦CD的長，求四邊形ABCD的面積，等等），供優秀學生挑戰研習.