金融工具中連續(xù)時間利息計算應(yīng)用研究

(廣州工商學院 廣東 廣州 510000)

2017年3月31日，財政部修訂發(fā)布了《企業(yè)會計準則第22號——金融工具確認和計量》(財會〔2017〕7號)，在該準則的第一章總則中第二條就明確規(guī)定了金融工具的含義。金融工具，是指形成一個企業(yè)的金融資產(chǎn)，并形成其他單位的金融負債或權(quán)益工具的合同。而貨幣時間價值和風險的量化是金融資產(chǎn)價值計量的基礎(chǔ)，金融資產(chǎn)的價值或價格就是由貨幣的時間價值和所承擔的風險價值共同決定的。貨幣的時間價值通常通過利息(或反過來，折現(xiàn))來體現(xiàn)。貨幣無疑是現(xiàn)代金融的核心，因而貨幣的時間價值及相關(guān)的利息、折現(xiàn)理論，既是整個金融的基礎(chǔ)，也是運用各種工具和方法對金融資產(chǎn)進行定價和計量的基礎(chǔ)。

一、關(guān)于利息計算的相關(guān)基礎(chǔ)理論概述

常見的計息方式有單利和復利兩種，其區(qū)別在于初始投資所產(chǎn)生的利息是否繼續(xù)計息，造成的結(jié)果則是單利方式下單位時間內(nèi)的利息為恒定常數(shù)，復利方式下單位時間內(nèi)的利率為恒定常數(shù)。例如，一個單位的投資經(jīng)歷任意一個單位的計息時間段所產(chǎn)生的利息都是一個常數(shù)，那么這種利息計算方式稱為單利方式，所對應(yīng)的利息稱為單利。按照利息累計函數(shù)的形式，單利方式下的累計函數(shù)：1個貨幣單位的本金在t時刻的價值a(t)=1+it，其中i為1個貨幣單位本金經(jīng)過1個計息期產(chǎn)生的利息，即為單利利率。

在單利方式下，實際利率是隨著時間發(fā)生變化的。這里實際利率是指在一段時間內(nèi)產(chǎn)生的利息除以期初的投資本金，由于隨著利息的積累，投資價值越來越大，但每單位的利息卻是恒定的，因此利率逐漸下降。設(shè)i為單利利率，那么第n個計息期的實際利率為

顯然，上面的in是n的遞減函數(shù)，因此單利計息方式下隱含的實際利率是遞減的。與單利不同，在復利計息方式下，已經(jīng)產(chǎn)生的利息收入自動計入下一期的本金。毫無疑問，復利計息方式更加公平合理，也是現(xiàn)實中更加常見的計息方式。例如，1個貨幣單位的投資經(jīng)過任何一個單位的計息時間段的利率為常數(shù)，那么這種利息計算方式稱為復利方式，產(chǎn)生的利息稱為復利。復利意味著之前投資產(chǎn)生的利息經(jīng)過再投資后將產(chǎn)生新的利息，在復利方式下，在投資期間內(nèi)的每一個時刻，過去時間內(nèi)投入的所有本金和產(chǎn)生的全部利息都將用于下一時間段內(nèi)的再投資，從而產(chǎn)生新的利息。復利就是俗稱的“利滾利”的計息方式。復利方式下的累計函數(shù)：a(t)=(1+i)t。

計息方式與累計函數(shù)是一一對應(yīng)的，單利計息方式下累計函數(shù)必須是上述線性函數(shù)的形式，復利計息方式下的累積函數(shù)必須是指數(shù)函數(shù)的形式。反之，線性累積函數(shù)必然是單利計息，指數(shù)累積函數(shù)必然是復利計息。例如，如圖1所示，本金100元，年利率10%的情況下單利和復利方式下的累積收益對比。

圖1 復利與單利的收益增長速度比較

折現(xiàn)是計息的反過程。由于幾乎所有的金融工具都是面向未來的，因此，在金融資產(chǎn)計算的過程中，折現(xiàn)的應(yīng)用甚至會多于計息。正所謂金融資產(chǎn)計量中所體現(xiàn)的貨幣時間價值，都是通過折現(xiàn)因素來實現(xiàn)的。初始的本金在經(jīng)過一段時間的投資后會產(chǎn)生利息，從而導致投資貨幣的價值隨著時間產(chǎn)生變化，利息或投資貨幣隨時間的相對變化就是利率。利息體現(xiàn)了貨幣具有時間性，或者說，具有時間價值，初始投資的貨幣經(jīng)過一段時間價值會發(fā)生變化，而不同時間點的同樣數(shù)量的貨幣將具有不同的價值。利息的計算，反映了一般的金融投資活動中的“順時針”過程，即在開始和結(jié)束兩個時刻中，從開始推演至結(jié)束時點，將這個過程反過來，從結(jié)束推演至開始，就是與計息過程相對應(yīng)的折現(xiàn)過程。

二、連續(xù)時間利息的計算

在復利方式下，由于已產(chǎn)生的利息要加入計息基數(shù)，即使是在利率相同的情況下，不同的計息頻率也會影響計息的結(jié)果。在實務(wù)中，計息頻率通常是一個確定的、客觀的時間段，如1年、1月或1天。但在理論上，計息期間可以無限分割、趨近于零，計息頻率可以無限大。最理想的情形，假設(shè)在每個時點瞬間都可以進行計息和結(jié)息，那么投資的價值變化將非常頻繁，每個時點都在發(fā)生變化。這種理想化的計息方式稱為連續(xù)利息計算。實務(wù)中按年、按月、按日的計息方式則稱為離散利息計算。盡管在現(xiàn)實中永遠不可能做到連續(xù)計息，總要有一個時間分割、總歸是離散計息，但對連續(xù)利息的分析和研究將有助于深化對利息的理解并輔助對一般離散情形的分析。特別是在關(guān)于復雜金融產(chǎn)品定價的連續(xù)時間模型中，經(jīng)常大量使用連續(xù)利息計算。

離散狀態(tài)的利率表示的是利息累積在一段給定時間(如1年、1月或1日等)內(nèi)的速度，利息力則是表示利息累積在“瞬時”的速度，這種定義和表達方式，將有利于計算連續(xù)時間下的金融資產(chǎn)定價，同時有利于在進行定價時引入函數(shù)、微分、積分、隨機過程等成熟的數(shù)學工具。這一點優(yōu)勢，是離散利息所無法比擬的。因此，盡管現(xiàn)實中的計息都是“離散”的，但在金融資產(chǎn)價值計量的各種研究分析和實務(wù)計量中，卻大量使用連續(xù)計息模型。

三、實務(wù)中引入連續(xù)計息的原因分析

現(xiàn)實中，所有的計息都是“離散”的，無論計息期間分割地多么精細，總有一個大于零的“間隔”，連續(xù)利息事實上只在理論中存在。那么，為什么要引入和分析連續(xù)時間利息?筆者認為主要有以下三點原因。

第一，利率往往是隨時間變動的，甚至帶有一定的隨機性，為了更好地反映利率這一特征，需要引入連續(xù)時間利息。連續(xù)時間利息是在時間區(qū)間趨近于無窮小時，分析利率和投資價值的變化，這與積分的理念一致。例如，在單利方式下，假設(shè)利率為i，那么單位本金經(jīng)過t時間后產(chǎn)生的利息即為it,這是非常簡單明了的。但是，如果利率是隨時間變化的，則情況將變得復雜。假設(shè)利率是時間函數(shù)i(t)，那么在每個計息期間1單位本金產(chǎn)生的利息近似于i(s),最極端的情況下，當計息區(qū)間趨近于無窮小時，所計算的結(jié)果也趨近于“精確結(jié)果”，因此在時間t內(nèi)，在隨時間變化的利率i(s)下產(chǎn)生的利息為

在復利下，情況類似，當利率為恒定常數(shù)i時，復利方式下1單位本金在t時間后的投資價值為

于是，當復利變動時，可以認為時利息力函數(shù)在隨時間變化，因此，1單位初始本金在t時間的投資價值為

上邊的表達式其實就是復利方式下連續(xù)時間利息的累積函數(shù)。從這個角度理解，累積函數(shù)實際上就是在一定的計息時間內(nèi)，使用積分的方法將利息力函數(shù)“累加”起來得到投資價值，而利息力函數(shù)則代表了“瞬間”的利率。類似地，也可以從這個角度去理解貼現(xiàn)函數(shù)和貼現(xiàn)力函數(shù)。有了如上表達式，分析一些連續(xù)時間下的復雜金融工具將變得非常方便。

第二，使用連續(xù)時間利息進行分析，可以避免計息期間的“選擇恐懼癥”。實務(wù)中經(jīng)常采用的計息方法是1年以上用復利、1年以內(nèi)采用單利的方式進行計息，那么即使名義利率相同，但由于計息期間的選擇不同，仍將導致不同的計息結(jié)果。假設(shè)年利率為i，如果以1年為計息期，那么無疑投資價值為1+i；而如果對計息期進行細分，假設(shè)分為n份，相應(yīng)地每期的利率為i/n,那么到期投資價值為(1+i)n。顯然n越大，到期投資價值就越大，而當n趨向于無窮時，投資價值就趨向于連續(xù)時間下的計息結(jié)果。

第三，引入連續(xù)時間計息，可以在金融資產(chǎn)價值計量時方便地使用各種成熟量化分析工具。在離散狀態(tài)下，可以使用的數(shù)學工具是非常有限的，而在連續(xù)時間模型里，則有大量的分析工具可供使用，這極大地方便了金融資產(chǎn)的量化分析。