任意階梯型截面Timoshenko 梁的彎曲

楊 驍,錢 程,錢雪薇

(上海大學(xué)土木工程系,上海200444)

在梁彎曲變形的研究中,通常將其邊界約束視為簡支或固支等理想邊界條件.雖然這種處理方式具有一定的合理性,并可簡化計算分析,但對于梁邊界的某些特殊連接形式,如木結(jié)構(gòu)的榫卯連接、PC(prestressed concrete)結(jié)構(gòu)中的結(jié)點等,應(yīng)用理想邊界條件分析梁彎曲可能會產(chǎn)生較大的誤差；另外,階梯型截面梁構(gòu)件已廣泛應(yīng)用于機械和建筑結(jié)構(gòu)等工程領(lǐng)域中,因此邊界彈性支承下階梯型截面梁的彎曲研究及其應(yīng)用具有重要的理論意義和廣泛的應(yīng)用背景.

階梯型截面梁彎曲分析的經(jīng)典解析方法是以截面變化位置為分界點,將梁分為若干等截面子梁段,并對每一子梁段應(yīng)用等截面梁彎曲的控制方程求其變形通解,而后根據(jù)梁的邊界條件以及子梁段連接處的連續(xù)性條件,確定子梁段變形通解中的待定常數(shù)[1],或利用傳遞矩陣法進行求解[2-5],從而得到以分段函數(shù)形式表示的階梯型截面梁的彎曲解.然而,隨著梁變截面?zhèn)€數(shù)的增加,其連續(xù)性條件或傳遞矩陣數(shù)目增加,導(dǎo)致確定待定常數(shù)的線性方程組階數(shù)增加或矩陣計算量增大,求解繁瑣,難以給出形式簡單的解析閉合解.為此,眾多學(xué)者試圖尋找適用于整個梁跨的形式簡單的解析閉合解.

階梯型截面梁彎曲分析的另一種方法是基于廣義函數(shù)理論中Heaviside函數(shù)性質(zhì)[6],在整個梁跨上給出包含不連續(xù)信息的微分控制方程,從而減少計算,簡化分析.Falsone[7]給出了包含載荷、撓度、轉(zhuǎn)角以及曲率不連續(xù)等信息的Euler-Bernoulli梁彎曲控制方程；而Yavari等[8-10]針對Euler-Bernoulli梁撓度、轉(zhuǎn)角和曲率的不連續(xù)跳躍,通過構(gòu)造一個事先滿足跳躍條件的新?lián)隙群瘮?shù),在整個梁跨上給出了梁彎曲的控制方程,并提出了輔助梁分析方法；Biondi等[11]針對單階梯型截面梁或梁中存在一個內(nèi)部扭轉(zhuǎn)彈簧的梁彎曲問題,在梁抗彎剛度中分別引入廣義Heaviside函數(shù)和Dirac's Delta函數(shù),給出了Euler-Bernoulli梁彎曲的控制方程以及適用于整個梁跨的解析閉合解；Biondi等[12]還將文獻(xiàn)[11]的結(jié)果推廣至多階梯型截面梁以及內(nèi)部多扭轉(zhuǎn)彈簧梁的彎曲分析中,并研究了梁柱軸向位移的不連續(xù)性問題,但其抗彎剛度的物理描述并不十分完善；Cheng等[13]利用廣義函數(shù)給出了階梯型截面梁的靜動力分析方法,并利用得到的解析閉合解進行了相關(guān)的參數(shù)敏感性問題分析.同時,廣義函數(shù)亦應(yīng)用于非均勻梁彎曲分析及無損檢測等方面[14-21].

目前,在階梯型截面Timoshenko梁彎曲研究中廣義函數(shù)的應(yīng)用相對較少,本工作應(yīng)用Heaviside函數(shù)研究了邊界彈性支承階梯型截面Timoshenko梁的彎曲.首先,利用Heaviside函數(shù),給出了任意階梯型截面Timoshenko梁的抗彎和抗剪剛度,進而得到了任意載荷作用下階梯型截面Timoshenko梁彎曲的解析通解；然后,利用邊界彈性支承條件,確定通解中的待定常數(shù),從而得到階梯型截面Timoshenko梁彎曲變形的解析閉合解；最后,并利用SAP2000有限元軟件驗證了解析閉合解的正確性.在此基礎(chǔ)上,本工作還數(shù)值分析了固支和懸臂階梯型截面Timoshenko梁的彎曲,考察了變截面位置、截面大小、梁高跨比以及邊界支承剛度等對Timoshenko梁彎曲變形的影響.

1 任意階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形

如圖1所示,設(shè)承受橫向載荷q(x)作用的階梯型截面Timoshenko梁由N段矩形等截面子梁構(gòu)成,其總長為L,且在x=xi(i=1,2,···,N-1)處發(fā)生截面變化.記第i段子梁橫截面的高和寬分別為hi和bi,而其抗彎剛度和抗剪剛度分別為(EI)i和(GA)i；假定梁兩端為彈性支承,其豎向彈簧剛度分別為Kd1和Kd2,而橫截面扭轉(zhuǎn)彈簧剛度分別為Kr1和Kr2.

利用Heaviside函數(shù)[6]以及文獻(xiàn)[11]的方法,可得到此階梯型截面Timoshenko梁沿梁跨的抗彎剛度(EI)(x)和抗剪剛度(GA)(x)分別表示為

圖1 階梯型截面Timoshenko梁Fig.1 Timoshenko beam with stepped cross-section

式中,H(x)為Heaviside函數(shù),γi和βi分別為抗彎剛度和抗剪剛度的折減參數(shù),定義為

如果記階梯型截面Timoshenko梁的橫向撓度和截面轉(zhuǎn)角分別為w(x)和φ(x),則任意載荷q(x)作用下階梯型截面Timoshenko梁彎曲變形的邊值問題[1]為

引入如下無量綱量和參數(shù)

可得如下階梯型截面Timoshenko梁彎曲的無量綱邊值問題

式中,m=ML/(EI)1和fs=FsL2/(EI)1分別為Timoshenko梁的無量綱彎矩和剪力,且

對方程式(6)的第一個方程兩邊積分,可得

式中,C1為待定系數(shù),且

將式(8)代入式(6)的第2個方程,兩邊積分得

式中,C2為待定系數(shù),且

于是,有

式中,C3為待定系數(shù).

將式(12)代入式(8),兩邊積分得

式中,C4為待定系數(shù),且

于是,無量綱彎矩和剪力可表示為

由式(6)中邊界條件得到確定待定系數(shù)Ci(i=1,2,3,4)的線性代數(shù)方程組,可得

式中,

當(dāng)γi=βi=0時,階梯型截面梁退化為等截面梁.如果令Q(x)=Q,kri=kdi=∞(i=1,2),則問題變?yōu)榫驾d荷作用下兩端固支等截面Timoshenko梁的彎曲,此時式(12)和(13)變?yōu)?/p>

如果令kr1=kd1=∞和kr2=kd2=0,則問題變?yōu)榫驾d荷作用下懸臂等截面Timoshenko梁的彎曲,而此時式(12)和(13)變?yōu)?/p>

式(18)和(19)與文獻(xiàn)[1]中的公式一致,從一個方面說明本工作推導(dǎo)的正確性.

2 算例分析

2.1 均布荷載下單階梯型截面固支Timoshenko梁的彎曲

考慮長L=2 m的單階梯型截面Timoshenko梁,即N=2,截面在x1=1 m處發(fā)生變化,且截面高度分別為h1=0.6 m和h2=0.3 m,寬度b=b1=b2=0.25 m,因此取梁彈性模量E=2×1011N·m-2,泊松比ν=0.3,剪切修正系數(shù)κ=10(1+ν)/(12+11ν)=0.85,均布荷載q(x)=q0=10 kN·m-1,且kd1=kd2=kr1=kr2=100.圖2為在此工況下單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布.同時,圖中亦給出了SAP2000有限元軟件[22]的計算結(jié)果,可見,本工作的解析解與有限元解吻合得較好,從而驗證了本工作理論公式的正確性.

圖2 單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.2 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section

仍取上述單階梯型截面Timoshenko梁的材料、幾何和載荷參數(shù),以及kd1=kd2=100.圖3顯示了此時邊界支承無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度kr=kr1=kr2對單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布的影響.可見,隨著邊界扭轉(zhuǎn)彈性支承剛度kr的減小,梁撓度和轉(zhuǎn)角增大,且在變截面ξ1=0.5處轉(zhuǎn)角斜率發(fā)生明顯跳躍.

圖3 不同kr時單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.3 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam withsingle stepped cross-section for different kr

取kd1=kd2=kr1=kr2=1010(相當(dāng)于兩端固支梁),除截面變化位置x1外,其他參數(shù)不變.圖4為無量綱截面變化位置ξ1對固支單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布的影響.可見,梁的撓度分布光滑,但其截面轉(zhuǎn)角在截面變化ξ=ξ1處非光滑,這是由于在截面變化ξ=ξ1處梁彎矩連續(xù),但抗彎剛度發(fā)生跳躍,從而導(dǎo)致截面轉(zhuǎn)角φ(ξ)的斜率,即彎曲曲率發(fā)生跳躍.由于γ2=7/8＜1和β2=1/2＜1,即子梁2的抗彎剛度和抗剪剛度小于子梁1的抗彎剛度和抗剪剛度,因此隨著截面變化位置ξ1的增大,梁的整體剛度增大,從而導(dǎo)致隨著截面變化位置ξ1的增大,撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)減小.當(dāng)ξ1=1.0時,梁退化為等截面Timoshenko梁,此時撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分別關(guān)于梁跨中是對稱和反對稱分布,且截面轉(zhuǎn)角φ(ξ)的斜率不發(fā)生跳躍.

圖4 不同ξ1時,單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.4 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section for different ξ1

仍取kd1=kd2=kr1=kr2=1010,除h2外其他參數(shù)不變.圖5顯示了子梁2高度h2對單階梯型截面固支Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布的影響.當(dāng)h2/h1=1/3,1/2和2/3時,固支單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)與固支等截面Timoshenko梁(h2/h1=1)撓度有較大的差異.隨著h2/h1接近于1,即趨于等截面Timoshenko梁,其撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)趨于等截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ).類似地,可分析邊界彈性支承條件下階梯型截面Timoshenko梁的彎曲.

圖5 不同h2時單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.5 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section for different h2

2.2 均布荷載下懸臂單階梯型截面Timoshenko梁的彎曲

為考察懸臂單階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形,分別取kd1=kr1=1010和kd2=kr2=10-10,其他參數(shù)不變.圖6顯示了無量綱截面變化位置ξ1對懸臂單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布的影響.可見,截面變化位置ξ1對懸臂單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)的影響與固支階梯型截面Timoshenko梁的相同.另外,靠近自由端的子梁截面變化并不影響固支端附近子梁的變形,即當(dāng)ξ＜ξ1時其變形并不依賴于ξ＞ξ1的子梁截面的改變.

圖6 不同ξ1時單變截面懸臂Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.6 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of cantilever Timoshenko beam with one stepped cross-section for different ξ1

2.3 均布荷載作用下固支雙階梯型截面Timoshenko梁的彎曲

考察由3個子梁組成的固支雙階梯型截面Timoshenko梁,即N=3,且取kd1=kd2=kr1=kr2=1010,材料常數(shù)不變.幾何參數(shù)分別為：梁長L=1.80 m,變截面位置ξ1=1/6,ξ2=5/6,各子梁截面寬度分別為b1=0.30 m,b2=0.20 m和b3=0.25 m；一組截面高度分別為h1=0.60 m,h2=0.40 m和h3=0.5 m,記為Beam-Ⅰ,而另一組截面高度分別為 h′1=0.30 m,h′2=0.20 m 和 h′3=0.25 m,記為 Beam-Ⅱ. 圖 7 分別顯示了固支雙階梯型截面Timoshenko梁Beam-Ⅰ和Beam-Ⅱ的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)的分布.可見,隨著高跨比的減小,梁的撓度和轉(zhuǎn)角值增大.

圖7 固支雙階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉(zhuǎn)角φ(ξ)分布Fig.7 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of clamped Timoshenko beam with double stepped cross-sections

3 結(jié) 論

本工作研究了邊界彈性支承下任意階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形.首先,利用Heaviside廣義函數(shù),給出了階梯型截面Timoshenko梁沿梁跨的抗彎剛度和抗剪剛度；其次,由Timoshenko梁的彎曲控制方程和邊界彈性支承條件,得到了階梯型截面Timoshenko梁撓度和轉(zhuǎn)角的解析閉合解.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值分析了固支和懸臂階梯型截面Timoshenko梁的彎曲,考察了變截面位置、截面大小以及梁高跨比等對Timoshenko梁彎曲的影響,得到如下結(jié)論：

(1)利用Heaviside函數(shù)給出的階梯型截面Timoshenko梁抗彎和抗剪剛度公式,避免出現(xiàn)經(jīng)典階梯型截面Timoshenko梁分析方法中變截面處的連續(xù)性條件,簡化了計算,并給出了整個梁跨上彎曲撓度和轉(zhuǎn)角的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)解析閉合解；

(2)階梯型截面Timoshenko梁的撓度和轉(zhuǎn)角分布與等截面Timoshenko梁的撓度和轉(zhuǎn)角分布有較大的差異,在截面變化位置處階梯型截面Timoshenko梁轉(zhuǎn)角斜率存在明顯的突變跳躍,且截面尺寸變化越大,轉(zhuǎn)角跳躍越明顯；

(3)對于懸臂單階梯型截面Timoshenko梁,靠近自由端的梁截面變化不影響固支端附近梁的變形.