基于工科研究生“有限元方法”的《數值分析》教學探討

王敏 杜廷松

摘要：《數值分析》是工科研究生的一門重要的基礎課程，針對當前教學中遇到的問題，文章探討了以有限元方法為應用背景講授數值分析課程的教學方式。

關鍵詞：《數值分析》;有限元;教學

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）37-0199-02

一、引言

《數值分析》是工科研究生的一門重要的基礎課程，其基本思想是使用數值計算方法以計算機為工具得到數學模型的數值解。該課程連接了數學與工程，是典型的理論與實際相結合的課程。因為課程涉及一些高等數學和線性代數的背景知識，并且有較多的數學公式，看起來計算比較煩瑣，所以很多學生僅僅是把它當作另外一門數學課，而沒有認識到該課程和實際應用之間的緊密聯系以及該課程知識在處理工程問題時的強大威力。

“有限元方法”是利用數值方法對物理系統及工程進行仿真求解的一種方法，是諸多工程問題的重要求解工具之一。有限元方法求解工程問題的計算流程為：用簡單網格將待求區域分解為多個獨立單元;再利用網格節點將各獨立單元連接整合為整個區域;區域信息離散至各個節點;結合邊界條件實現節點信息的求解;實現有限個離散節點對連續未知量的逼近。

結合兩門課程的特點，若以有限元方法為應用背景講授《數值分析》的相應內容，既能幫助學生直接領會理論在實際中如何應用，又可以培養學生尋求數學工具解決生產實踐中遇到的問題的能力，實現以用帶學、學以致用的目的。

二、數值分析方法在有限元方法中的應用

1.插值法在有限元中的應用。插值法是數值分析的一個重要知識點，主要包括拉格朗日插值法、牛頓插值、埃爾米特插值、樣條插值等。在實際教學中往往存在學生機械背誦插值公式，對于插值的用途和特點很難有深刻體會。而工科研究生經常使用的工具有限元方法中會經常涉及利用三角形單元或四邊形單元對區域進行離散，實現網格剖分，在離散的過程中使用的形函數就是拉格朗日插值基函數的應用。

以有限元中的長寬分別為a、b的四節點矩形單元為例，對連續位移構造逼近函數：

2.數值積分在有限元中的應用。對《數值積分》的相關知識學生往往存在以下困惑：為什么要用數值積分，而不是直接使用牛頓萊布尼茲公式求解？牛頓—科特斯積分直接應用就可以了，為什么還要介紹高斯積分？這些積分方法的用處是什么？在有限元中無論是計算剛度矩陣還是荷載列陣時都要用到定積分，通常是多元函數的重積分。分布體力的等效節點荷載矩陣、分布面力的節點等效荷載、剛度矩陣計算公式分別為：

f（ξ，η，ζ）通常非常復雜，難以求出其原函數，即使能夠求解，其積分也非常煩瑣，更甚者要面對大規模計算，因此，尋求數值積分就是必然需求。工程計算中計算效率非常重要，同樣的節點數高斯積分的代數精度高于牛頓—科特斯公式，若是增加節點數目，整個計算規模會顯著增加，從而數值積分相關知識可以立體全面地掌握。

3.線性方程求解數值方法在有限元中的應用。利用變分原理和離散化建立有限元矩陣方程后，加上邊界條件，得到一個系數矩陣非奇異的高階線性方程組。該矩陣方程的未知量通常為節點位移。應用數值分析中介紹的各種數值方法，諸如高斯消元法、雅克比迭代法、LDLT分解法、共軛梯度法等，均可對有限元矩陣方程求解。通過對有實際背景方程的對比求解，可以在介紹各種不同算法的同時幫助學生了解工程中廣泛出現的稀疏矩陣、三對角矩陣作為系數矩陣的線性方程組那種算法更為精確、高效。

三、小結

數值分析方法是應用數學理論解決工程實際的重要工具;有限元方法是在實際中廣泛使用的技術;有限元的各個步驟都離不開數值分析方法的應用。針對當前《數值分析》教學中遇到的問題，提出以有限元方法為應用背景給工科研究生講授《數值分析》的各知識點，以期加深學生對《數值分析》各算法的理解，進一步幫助學生學習和科研。

參考文獻：

[1]王能超.數值分析簡明教程（修訂版）[M].武漢：華中科技大學出版社，2002.

[2]李開泰，黃艾香，黃慶懷.有限元方法及其應用[M].科學出版社，2006.

[3]杜廷松.關于《數值分析》課程教學改革研究的綜述和思考[J].大學數學，2007，23（2）：8-15.

Exploration of the "Numerical Analysis Course" Based on the "Finite Element Method" for the Engineering Postgraduates

WANG Min，DU Ting-song

（College of Science，China Three Gorges University，Yichang，Hubei 443002，China）

Abstract："Numerical Analysis" is an important basic course for engineering graduate students.In view of the problems encountered in current teaching，this paper discusses the teaching method of numerical analysis course based on the application of finite element method.

Key words："Numerical Analysis"; finite element; teaching