四類易錯問題的糾錯

云南省玉溪第一中學 (郵編：653100)

1 易錯問題

問題2 若關于x的不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一個實數解，求實數a的值.

問題3 已知函數f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域為R，求實數a的取值范圍.

2 問題糾錯

問題1解答[2]關于x的不等式

故a=0，b=4.

許多同學很難理解：

圖1

圖2

由上述解答，反面探究，我們可知：

(1)若關于x的不等式m0)的解集為(m，n)，則m，n是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=n的兩個不同的實根.

(2)若關于x的不等式m

圖3

問題2解答因為y=x2+ax+5是開口向上的拋物線，如果此拋物線的頂點在直線y=4的下方(如圖3)，則原不等式有無窮多解.

如果頂點在y=4的上方(如圖3)，則原不等式無解.

當且僅當此拋物線的頂點落在直線

另解由上述分析知，關于x的不等式x2+ax+5≥0對一切x∈R恒成立，從而關于x的不等式x2+ax+5≤4恰有一個實數解，于是，關于x的一元二次方程x2+ax+5=4有兩個相等實數解，所以，△=a2-4=0，解得a=±2.

由上述解答，反面探究，我們將會發現：

(1)把問題2不等式左邊的“0”改為區間(-∞，4)內的任意一個確定的實數，如“1”或“2”或“3”或“3.1”，并不影響這個問題的解答思路和結果.

(2)問題1和問題2本質上是同一類題目.

由上述解答，反面探究，我們可知：

(1)若關于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一個實根，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=n必有兩個相等實根.

(2)若關于x的不等式m≤ax2+bx+c≤n(a<0)恰有一個實根，則關于x的一元二次方程ax2+bx+c=m必有兩個相等實根.

問題3解答

在這里，關鍵是要理解清楚以下兩個問題.

圖4

第一個問題是要使函數f(x)的值域為R， 為什么應使對數的真數x2-ax+65要取盡所有正實數？因為函數h(x)=log2019x的值域為R，當且僅當對數的真數x要取盡所有正實數，如圖4所示，否則，如取2≤x≤4，則h(x)的值域為[log20192，log20194].

圖5

圖6

由上述解答，反面探究，我們可知：

由上述問題1、問題2、問題3的解答，反面探究，我們將會看到問題1、問題2、問題3的解答思維方法都是逆向思維，從反面入手去探究解決問題的突破口.

問題4解答因為對任意的實數x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，所以2f(x)min>f(x)max.

若k-1=0，即k=1，則y=1，此時滿足不等式f(x1)+f(x2)>f(x3).

許多同學很難想到：(1)若函數y=f(x)在區間D上單調，且對任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立，則f(x)min+f(x)min>f(x)max，即2f(x)min>f(x)max.(2)若函數y=f(x)在區間D上單調，且2f(x)min>f(x)max，則對任意的x1，x2，x3∈D，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立.

3 問題關鍵

對于問題2這樣關于“不等式m≤ax2+bx+c≤n(a>0)恰有一個實根”的問題，解題時關鍵是要理解：ax2+bx+c≥m恒成立，從而就可以知道問題的本質是，不等式ax2+bx+c≤n恰有一個實根，故而問題破解.

對于問題3這樣關于“函數f(x)=logag(x)(a>0，且a≠1)的值域為R”的問題，解題時關鍵是要理解：函數g(x)的取值要取盡所有正實數，從而問題得解.

對于問題4這樣關于“對任意的實數x1，x2，x3，不等式f(x1)+f(x2)>f(x3)恒成立”的問題，解題時關鍵是要理解：2f(x)min>f(x)max，從而就可以知道問題的本質是，求函數y=f(x)的最值(值域)，故而問題獲解.

4 問題變式

4.1 問題1變式

4.2 問題2變式

(1)a為何值時，不等式0≤x2+ax+5≤4恰有一個實解.(a=±2)

(2)若不等式0≤x2-ax+a≤1恰有一解，求a的值.(a=2)

(3)已知不等式2≤x2+px+10≤6恰有一個解，求p的值.(p=±4)

4.3 問題3變式

(2)已知函數f(x)=lg(ax2+2x+1)的值域為R，求實數a的取值范圍.(0≤a≤1)

(4)若函數f(x)=log2019(x2-ax+65)的值域為非負實數，那么a的取值是.

(a=±16)

4.4 問題4變式

(2)已知函數f(x)=2x+1+a，若對任意的實數x1，x2，x3，不等式f(x2)+f(x3)>f(x1)恒成立，則實數a的取值范圍是.(a≥6)

(1≤a≤4)

以上四個問題變式解答從略，各題后面括號內為答案.

5 糾錯反思

學生解題出現錯誤是很自然的現象，問題是學生為什么對同一個問題或同一類問題一而再、再而三地重復同樣錯誤，糾錯為什么這么難？對此問題，筆者認為，學生對同一個問題或同一類問題多次重復同樣的錯誤，是教師在教學中的不足.我們常常會聽到這樣的責怪聲：“這個問題我已經講過多少遍了，現在還有不少學生出錯.唉！沒有辦法了.”真的沒有辦法了嗎？到底是誰的錯？對此問題，我們應該靜下心來認真地作一些反思，反思是否使學生對問題知其然、知其所以然、何由以知其所以然.知其然、知其所以然、何由以知其所以然是理解數學知識的三重境界，是數學教師專業化發展的基石，是數學教學質量的根本保證，也是衡量學生是否理解和掌握數學知識的發生、形成、發展過程的重要指標[1].

人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學》的“主編寄語”中寫道：數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用，以及它與其他概念的聯系，就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味[4].也就是說，糾錯應該是自然的、水到渠成的、合情合理的.