堅持以題促思回歸數學本位
——2019年合肥市中考數學閱卷后的分析

安徽省合肥市第五十中學天鵝湖教育集團望岳校區 (郵編：230031)

隨著中考閱卷工作的的圓滿結束，2019年中考已經拉下帷幕，今年的安徽省中考數學試題以《全日制義務教育數學課程標準》(以下簡稱“課標”)為基本依據，以《2019年安徽省初中學業水平考試綱要》(以下簡稱“考綱”)作為指導，秉承以往的命題風格，試卷堅持穩中有變，特點鮮明，體現考試的基礎性、公平性，保證科學、有效，既能全面、準確地評估初中畢業生達到《課標》所規定的數學學業水平的程度，同時又為高中階段學校選拔招生提供重要的依據．

今年合肥市共有32584名初中畢業生參加中考，下面結合我市的中考數學閱卷情況，對2019年安徽省的中考數學試卷和合肥市區學生的答題情況進行簡要分析，并談幾點教學建議，供今后教學參考．

1 試卷基本情況

2019年安徽省中考數學試卷，重點考查學生數學基礎知識、基本技能和一定的分析問題、解決問題的能力，能達到促進學生主動學習的目的，有利于促進我省初中數學課程改革的進一步深入．具體有以下幾點：

1.1 試卷結構穩定

試卷結構保持穩定，延續往年的題型和題量，各部分比例比較恰當，一如既往的覆蓋三大領域的核心內容，其中“數和代數”部分約占46.67%，“空間與圖形”部分約占42.67%，“概率與統計”部分約占10.67%．對比2018年，統計與概率比例不變，數與代數部分略有降低，圖形與幾何部分略有提高，考查內容分布基本符合《考綱》的要求.

1.2 考點分布合理

從整張試卷來看，今年的數學中考試題注重考查基礎知識、基本能力和基本思想方法，關注數學活動過程和思維空間，重視引導教學回歸教材；重視對學生后繼學習影響較大的知識和思維方法的考查，較好體現了《課標》倡導的理念，對于改善初中數學教學方式和學習方式有較好的導向作用，是一份質量較高的試卷．具體考點如下表：

題號分值考查知識點14有理數的大小比較24冪的運算34三視圖44科學記數法54點的對稱、反比例函數64眾數的概念74相似三角形的性質84增長率問題94整式運算與不等式104軸對稱、正方形與解直角三角形115二次根式的運算125逆命題的概念135圓周角、解直角三角形145含參數的一次與二次函數綜合158解一元二次方程168平移作圖、菱形概念178列方程(組)解應用題188數與式規律探究、分式運算1910圓的性質、解直角三角形2010三角形全等、平行四邊形性質2112頻數分布、概率計算2212待定系數法、二次函數的極值2312相似三角形綜合

2 合肥市區答題情況

3.1 成績等級分析

2019年合肥市區初中學業水平考試成績仍然采用分數與等級共同呈現的方式，與去年對比不難發現：高分段分數降低，說明部分試題有一定的開放性、實踐性和綜合性，能較好的引導教師教學和學生學習，部分試題設置新穎，設問精巧，在全面考査基礎知識與基本技能的同時，突出對數學素養、數學本質的理解及探究能力的考査，具有一定的創新性；低分段分數上升，也反映出今年的數學命題更加注重面向全體學生，體現基礎性，問題的背景公平、合理，大部分試題均為改編和原創，沒有偏題、怪題，堅持評價改革方向，問題聯系現實，體現一定的時代特征．

3.2 試卷難易得當

從考查的知識點來看，本張試卷覆蓋面廣，難易適中，雖然與去年相比難度小幅上升，但是題目總體呈現由易到難，層次分明，做到了起點低、坡度緩、層次清，有良好的區分度，既考查學生最基本的數學知識和技能，又考查了學生的數學思維能力，兼顧了合肥市高中階段招生選拔的需要．選擇、填空、解答題三大題型內部都是由易到難，分布合理．容易題，使數學低水平層次考生也有很多得分的機會，體現了以人為本的命題理念，如選擇題的第1-6題，填空題的第11、12題，解答題的第15-18題；較難題考查考生的數學思維能力、數學基本活動經驗、數學思想方法和學生的數學學習潛能，為數學高水平層次考生提供了展示數學能力的機會，如選擇題的第7、9、10題，填空題的第13、14題，解答題的第21、22、23題．試卷的難度系數是0.70，有較好的區分度，是一份成功的中考數學試卷．

3.3 試卷特點分析

(1)關注雙基，回歸教材

2019安徽省中考數學試卷涉及了初中階段數學最重要的基本概念，重點考查了初中階段數學的基本技能，如運算能力、數據處理能力、基本探究能力等．本張試卷緊扣《課標》要求，許多試題源于教材，題目的形式、難度與課本習題接近，部分試題由教材中的題目改編而成，有利于引導教師在教學中以課本為主．

例1 (2019安徽中考第18題)觀察以下等式：

……

按照以上規律，解決下列問題：

(1)寫出第6個等式：____________；

(2)寫出你猜想的第n個等式：______(用含n的等式表示)，并證明．

評析規律探究是每年安徽中考的必考題，從前幾年的的數形規律探究到這兩年的數式規律探究，對學生的難度要求有所降低，屬于基本能力的考查.本題主要考查規律探究和分式運算，以一系列等式中隱藏的規律為背景，通過觀察并猜想等式中隱含的規律，考查學生的合情推理能力，其中第(2)問要求學生用數學符號表示規律并用數學方法嚴格證明，體現數學的嚴謹性.

(2)注重銜接，滲透理念

近年來，不少初中生經過中考的拼搏沖刺，取得優異成績跨入高中后，雖有很強的求知欲和十足的自信心，卻出現相當一部分學生不適應高中數學學習，初高中數學成績兩極分化嚴重，究其原因在于初中學習過程中，未能做好初高中銜接，而一份成功的中考試卷既要引導教師教學回歸教材，又要關注學生的可持續學習，做好初高中銜接工作．命題者旨在通過本張試卷命制，有意識的向初中師生傳達了這一理念．

第10題圖

例2 (2019安徽中考第10題)如圖，在正方形ABCD中，點E,F將對角線AC三等分，且AC=12，點P在正方形的邊上，則滿足PE+PF=9的點P的個數是

A．0 B．4 C．6 D．8

(3)聯系實際，體現價值

數學來于生活，必將服務于生活．本張試題注重聯系實際、貼近生活，本卷中的第6、8、17、19、21題分別以雷達測速、國內生產總值、鄉村振興、數學文化、生產監控等為背景命制試題，讓學生切身感受到數學其實就是我們身邊，體現數學的應用價值和教育價值，這也是安徽數學試題的特色之一．通過數學建模與應用性問題的考查，培養學生發現和提出問題，分析和解決問題的能力，引導學生關注生活中的數學，關注身邊的數學，培養學數學、用數學的習慣，發展學生的創斷意識和能力．

例3 (2019安徽中考第17題)為實施鄉村振興戰略，解決某山區老百姓出行難問題，當地政府決定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負責施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯合工作多少天？

評析本題以修建高速公路為背景，關注國家民生大計，考查學生建立方程(組)模型，只要學生審清題意，找出等量關系，不難列出方程或方程組，從而解決此題；此題用算術方法也可以，相比于解方程(組)這種較為程序化的方法，算術法對學生的邏輯推理能力要求較高．

(4)關注構圖，考查能力

平面幾何是初中數學的一個重要組成部分，求值與證明是平面幾何的重要內容，其題目的靈活性遠遠是代數題目所不能比擬的，許多初中生對幾何題感到困難，尤其是對需要添加輔助線的題，往往束手無策．而本試卷在第7、13、20、23題上對于學生通過添加輔助線構造典型圖形要求較高，考查了學生綜合運用數學知識的能力．

第7題圖

例4 (2019安徽中考第7題)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，點D在邊BC上，點E在邊AD上，EF⊥AC于點F，EG⊥EF交AB于點G．若EF=EG，則CD的長為

A．3.6 B．4

C．4.8 D．5

評析本題主要考查相似三角形的性質與判定，此題的難點在于輔助線的構造，當過點D作DH∥AC后，就可以得到△AEF∽△ADC、△AEG∽△ADH、△BDH∽△BCA，再利用比例式巧妙的推導出CD=DH，最終求得CD=4．而此題對學生的思維能力要求比較高，需構造三對三角形相似，再應用相似三角形的性質，推出線段之間的數量關系，進而求解，由于不易想到輔助線的構造，導致學生一開始便誤入歧途．

(5)壓軸探究，拓展思維

安徽省每年的壓軸題是眾人關注的焦點，今年也不例外．壓軸題往往在初中主干知識的交匯處命題，涉及的知識點多，覆蓋面廣；條件隱蔽，關系復雜，思路難覓，方法靈活，滲透了重要的思想方法，體現了較高的思維能力．學生得分低最主要的原因是學生在解題過程中不能抓住問題的本質特征去尋找合理的突破口．今年的壓軸題從試題類型上分析，仍延續多點壓軸的模式；從考查內容上分析，重點仍在函數和圖形變換上，體現函數與方程、分類討論等數學思想；從方法上分析，試題命制時立足初中數學的核心知識和重要方法，對學生運用數學知識和方法綜合解決問題的要求較高，綜合考察學生抽象概括能力、邏輯推理能力、綜合實踐能力．

例5 (2019安徽中考第14題)在平面直角坐標系中，垂直于x軸的直線l分別與函數y=x-a+1和y=x2-2ax的圖象相交于P、Q兩點．若平移直線l，可以使P、Q都在x軸的下方，則實數a的取值范圍是__________．

評析本題考查含參數的一次函數與二次函數，一改歷年來幾何作為填空壓軸的風格，綜合考查方程、不等式與函數之間的關系，數學味十足，學生不能理解題意成為解決此題最大的障礙，其實此題本質在于“使兩個函數同時存在小于0”，而若采取聯立解析式求交點，計算量較大，不妨我們考慮取特殊值，分類討論，畫出圖象，數形結合，使問題變得更直觀．而如何找到特殊值，其實主要取決于兩函數圖象與x軸的交點是否重合，函數y=x-a+1與x軸的交于A(a-1，0)，函數y=x2-2ax與x軸的交于B(0，0)、C(2a,0)，當A、B重合或A、C重合或B、C重合時分別得到a=1或a=-1或a=0三個特殊值，并同時產生四個區間(a<-1、-11)，綜合考慮A、B、C三點位置，并畫出草圖，此題變得一目了然，應該說此題是本卷中難度最大的一題，得分率極低．

第23題圖

例6 (2019安徽中考第23題)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內部一點，且∠APB=∠BPC=135°．

(1)求證：△PAB∽△PBC；

(2)求證：PA=2PC；

(3)若點P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證：h12=h2·h3．

評析相比較歷年安徽中考數學，這屆中考最后一題難度略低于前幾屆，可對學生的基本功要求仍然一點不低．此題源于安徽省2016年選擇題的壓軸題的一個變式，命題的背景是位于三角形內的一個巧合點——布洛卡(Brocard)點．第(1)小問考查了等腰直角三角形的性質以及等式的性質(等量代換)，要求學生注重基礎知識和基本能力；第(2)、(3)兩問考查了相似三角形的判定和性質和等腰直角三角形的性質、等積式證明的方法．尤其是第(2)小問的方法眾多，典型的方法如下：

第23題圖1

第23題圖2

第(2)小問方法2：如圖2，在線段PA上取一點D使得PD=PC(或AD=PC)，連接CD，則△CDP為等腰直角三角形，△ADC≌△CPB，得出PA=2PC.

第23題圖3

第23題圖4

第23題圖5

第23題圖6

第(2)小問方法4：如圖4，將△CPB繞C順時針旋轉90°到△CP′A，過P′作P′D⊥PA于點D，則四邊形CPDP′為正方形，再證△ADP′為等腰直角三角形，則PA=AD+DP=2PC.

第(2)小問方法5：如圖5，過B作BD⊥CP交CP的延長線于D，再證明△ACP≌△CBD，△BDP為等腰直角三角形，故PA=CD=PC+PD=2PC.

本題的方法難易層度不同，要想快速做出來，要求學生平時要訓練幾何證明中常見的幾何模型，要求教師平時在教學中注重這方面的教學，利用一題多解和多題一解的思維發散學生思維，注重變式拓展．尤其是對于初中教師而言，要關注平面幾何著名定理、歷史名題等，探尋命題生長點，多閱讀經典著作，關注高中數學學習常用的平面幾何知識，認識數學本質，突破思維定勢.

4 試卷反思建議

2019年安徽省中考數學試卷基礎題的設計干脆利索，很多學生都能得到分數；中難題部分，試題設得有梯度、講技巧，體現了從易到難、循序漸進的設計精神；壓軸題，基本屬于常見類型，不偏不怪．但在欣賞之余，也有幾點不成熟的想法：

(1)今年的數與代數部分占46.7%，低于《考綱》要求的50%，而圖形與幾何部分占42.7%，高于《考綱》要求的38%，能否將一道圖形與幾何問題替換成數與代數問題，使整張試卷的內容分布更加合理．

(2)從與部分考生的試后交流來看，第5題的考查目標可能缺失，讓小部分學生鉆了空子．此題主要考查了平面直角坐標系中的軸對稱和反比例函數中的待定系數法，這兩個知識點都是最基礎的，而當學生對“關于x軸或y軸對稱”產生混淆后，得出一個錯誤的對稱點A′的坐標(-1，-3)后，也能計算出k的值，從而第一個考查點“平面直角坐標系中的軸對稱”也就達不到考查目的了．

(3)從合肥市閱卷情況來看，第12題的表述稍欠嚴謹或有待改進，此題考查逆命題，命題者的本意是讓考生寫出命題的逆命題，但部分學生未能理解題意，寫出的答案是“真命題”、“正命題”或“成立的”等，完全出乎閱卷教師的意料，能否將其改成“寫出命題“如果a+b=0，那么a，b互為相反數”的逆命題__________．”

5 今后教學建議

中考是初中教學的重要風向標，從今年我省中考試題看，能立足學生發展需要，考查支撐學科的基本知識、基本技能、基本方法和基本思想，加強對基本運算能力、思維能力、空間觀念以及運用數學知識分析和解決簡單實際問題的能力的考查，通過科學地設置操作性、探究性和閱讀理解性等新題型，加強對學生創新意識的考查和對數學活動、數學知識發生過程的考查．因此，在今后的數學教學中我們應該努力做到:

5.1 重視教材 夯實基礎

九年級大多數時間還要上新課，知識占中考試題的三分之一以上，且大部分綜合題是以這些知識點為主要內容，所以，要認真上好新課，在學習新知識的同時，要及時復習相關的知識，學會重新構建知識結構網絡，還要做到及時解決疑難問題，減輕總復習的壓力．中考數學具體考什么內容我們很難確定，但試題中考查的基礎知識、基本技能與重要的數學思想方法等，即數學的核心內容是可以確定的，所以抓住最基礎、最核心內容的復習．在數學基礎知識的復習過程中，要善于將初中所學的知識進行歸類，理清初中階段數學知識網絡，形成完整的知識體系．

5.2 學會反思 發展能力

在學好概念、定理等同時，要領會其中的數學思想方法，如學習統計時，不是單純地計算平均數、方差等數據，而是更加注意與生活實際的聯系，重視統計的思想方法和意義，養成解題后的反思，通過不斷的積累，逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識．并且要善于對數學思想和數學方法歸納、整理和總結，它們往往蘊含在數學知識的發生、發展和應用的全過程中．

5.3 操作探究 拓展思維

重視開展開放性、探索性和操作性的數學學習活動重視實驗、探索、猜想，培養學生勇于探索的精神．在數學教學中，要提供難度適宜的探索性和開放性問題，讓學生自主研究，使學生經歷探索思考的過程，理解代數式的意義和作用，理解數學問題是怎樣提出的，數學知識是怎樣形成的，從中領悟數學的精髓與本質，培養學生的探究能力．如幾何教學中盡量讓學生親自實驗，通過量一量、剪一剪、折一折、畫一畫來探索幾何命題，促進知識的形成和發展．

5.4 關注實際 提高意識

縱觀近幾年中考試題，數學的實際應用問題已成為中考命題的熱點．因此，注重數學知識在實際生活中的應用教學，要加強聯系實際的應用題的教學，提高學生的應用意識和能力．引導學生關注實際生活、聚焦社會熱點，讓學生從數學的角度分析社會現象，解決實際問題．

5.5 規范訓練 養成習慣

從七年級開始，就要加強答題規范性、嚴謹性和準確性的訓練，讓學生練就最基本的數學素養和品質．引導學生認真審題、不憑印象答題、做完題即時總結、表述規范、推理有據、計算仔細的良好習慣和科學態度;遇到難題，不因挫折、失敗而畏縮，養成勇于探索、善于探索的精神品格．

5.6 因材施教 分層提高

成績中下的學生，重在夯實基礎，切忌走馬觀花，好高騖遠，建議要策略性地鼓勵這類學生，習題的難度要加以控制，以中、低檔為主．主要目標是“增分”；成績中等的學生，要有選擇地做模擬卷，主攻中檔題，突破綜合題，同時控制解題時間，確保“既好又快”．在解綜合題時可以先跟著老師走，弄清解題基本策略，主要目標是“增速”；成績較好的學生，做題要立足一個“透”字，可通過做題鞏固知識，每一題不要蜻蜓點水過一下，要會舉一反三．考生要發揮主觀能動性，預留充分時間思考綜合題．主要目標是“增法”．

總之，最有效的教學，不是要多做題，而是立足一道題，串起一類題；最有效的教學，不是只尋求一種方法，而是立足一種方法，牽出一類通法；最有效的教學，不是只研究一個圖形，而是立足圖形的變化過程，研究圖形的變與不變，在變中找不變，以不變應萬變。