一個無理分式不等式猜想的證明

浙江湖州市雙林中學 (郵編：313012)

《數學通報》2016年9月號問題2325[1]：

設x、y是滿足xy=1的正數，λ≥0，求證：

文[2]從項數入手，給出了上述不等式的“元”推廣：

①

故而文[2]改從指數入手，給出問題2325的指數推廣為：

設x、y>0,xy=1,2≤m∈N*,λ≥0，則

②

基于①、②二式，文[2]末作者自然提出如下靚麗的猜想：

③

這是集問題2325指數推廣與“元”推廣于一體的綜合性推廣，是一個很有意義的不等式之“夢”. 幾經思考、幾經挫折，終得以修成正果. 下面給出猜想的證明.

④

并作輔助函數：

易知猜想等價于以下不等式：

③′

為此，考察函數f(t)的凹凸性，即f″(t)的符號，可得：

⑤

>0(因m≥2).

所以，函數f(t)在(-∞,+∞)內是下凹函數，故而

③′式成立，即③式成立. 猜想得證.

從以上猜想的證明過程⑤式，易知：

λ2(m-1)2e2t+λm(2m-3)et+m2

≥λm(2m-3)et+2·λ(m-1)et·m

=λm(4m-5)et,

⑥