滿足題意的數列究竟有幾個?

云南師范大學數學學院 (郵編：650092)

1 原題重現

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)求數列{an}的前n項和.

所以an=n-2或an=-n.

所以{an}的通項公式為an=n-2或an=-n，n∈N+.

(Ⅱ)當an=n-2時，易知{an}為等差數列，且a1=-1.

當an=-n，易知{an}為等差數列，且a1=-1.

以上為原題及參考答案，事實上幾乎所有考生在答卷上也是這樣做的.乍看題目及答案都很完美,真的是這樣嗎?

2 錯因分析

下面先研究幾個簡單，但形似而質異的問題,以便幫助發現錯誤的原因.

例2 解方程(x-1)(x-2)=0.

解這是一個標準的一元二次方程，顯然，方程有兩個解，即x=1或x=2.方程的解集為{1,2}，是一個二元集.

例3 解關于x的方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+.

解這同樣是一個標準的一元二次方程(只不過方程中含有參數n).所以，方程有兩個解，即x=n或x=2n.因為n≠2n，所以方程的解集為{n,2n}，是一個二元集.

有人認為：由于n可以取任意一個正整數，所以解集{n,2n}實際上就是正整數集，從而任何一個正整數都是方程的解.這樣的認識是錯誤的.事實上，雖然n取不同的值時其解集也有所不同，但在這里要動中有靜，應把n看成是“常數”；另一方面，從方程角度看，既然這是一個關于x的二次方程，它的解當然最多只能有2個，而不可能是無數個.

例4 求x，使得方程(x-n)(x-2n)=0對任意正整數n都成立.

錯解有人認為答案就是x=n或x=2n，即例4同例3是同一問題.

顯然此方程組無解. 所以不存在x，使得方程(x-n)(x-2n)=0對一切n∈N+都成立.

例5 求x，使得方程(x-n)(x-2)=0對任意正整數n都成立.

例6 已知數列{an}滿足(an-n)(an-2n)=0，求數列{an}的通項公式.

解數列{an}的通項公式為an=n或an=2n，n∈N+.

有人認為：例6同例4結構相同，特別地，若把例6中的符號“an”看成例4中的符號“x”，則例6同例4就完全一樣，因此答案也應該相同，即無解.這樣的認識問題出在哪里？實際上，在數學中符號“an”具有特別的含義，它是數列{an}的通項，實質上是一個函數an=f(n)，因此不能把符號“an”看成平凡的符號“x”.本質上，(an-n)(an-2n)=0是一個函數(數列)方程，通過解該方程，求出來的an要對一切正整數n使得(an-n)(an-2n)=0恒成立.

例7 已知數列{an}(1≤n≤3)滿足(an-n)(an-2n)=0，求數列{an}的個數.

錯解數列{an}的通項公式為an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

所以滿足要求的數列{an}共有2個，它們分別是an=n，n∈N+，1≤n≤3；an=2n，n∈N+，1≤n≤3.

上述解答看起來簡單明了，可卻是錯誤的，問題在哪里？

正解事實上，例7題目的含義為：求an，使得對于從1到3的每一個正整數n，都有(an-n)(an-2n)=0成立.

所以an=n或an=2n，n∈N+，1≤n≤3.①

①式所表達的意思是：對于從1到3的每一個正整數n，只要an=n和an=2n中至少有一個成立即可.又因為n≠2n，所以數列{an}中的每一項都有兩種可能的取值，既可以從an=n中取，也可以從an=2n中取.即n=1時，an既可以取1，也可以取2；n=2時，an既可以取2，也可以取4；n=3時，an既可以取3，也可以取6；從而數列{an}的個數就有23=8個.即以下8個數列都滿足題意：1,2,3； 2,2,3；1,4,3；1,2,6；2,4,6；1,4,6；2,2,6；2,4,3.借助圖象可以更好理解問題的實質：對于取定的n值，其縱向上有兩個點(一個是圓點，另一個是方格點)，an的值可以是這兩個點中任意一個點的縱坐標.

小結例2是一個標準的一元二次方程問題，其解集為二元集{1,2}；例3是個含參數的一元二次方程問題，其解集為二元集{n,2n}；例4、例5是方程恒成立問題，其本質為解一元二次方程組，其中例4的解集是空集?，例5的解集是單元素集{2}；例6、例7盡管也是恒成立問題，但例6、例7是(數列)函數方程，因此要用函數的觀點來看待，即“an”是隨著n變化而變化的函數.因此它們的求解并非像例4、例5那樣去解方程組；例7中滿足題意的an為①式,但滿足題意的數列的個數不是2個，而是8個，這是例7與例3不同的地方.

3 對例1中錯誤的分析

根據上述錯因分析可知，例1中，(Ⅰ)的解答是正確的，即{an}的通項公式為an=n-2或an=-n，n∈N+.但其含義為數列{an}中的每一項都有兩種可能的取值，既可以從an=-n中取，也可以從an=2n中取，因此滿足題意的數列{an}有無數個.從而問題(Ⅱ) 求數列{an}的前n項和，就變成了要去分別求無數個數列的前n項和了，這顯然是不可能完成的.從這個意義上說，例1本身就是道錯題.

4 類似的含“或”字恒成立易錯題

例8 已知不等式|3x-a|>2x-4對x∈[0,2)恒成立，求a的取值范圍.

錯解原不等式轉化為3x-a<4-2x對x∈[0,2)恒成立，或3x-a>2x-4對x∈[0,2)恒成立.

所以a>5x-4對x∈[0,2)恒成立，或a

所以a≥6，或a<4.

故a的取值范圍是(-∞,4)∪[6,+∞).

錯解的原因參見例9.

正解注意到當x∈[0,2)時，2x-4<0.

又因為|3x-a|≥0顯然成立，所以a可以取任意實數，即a的取值范圍為(-∞,+∞).

例9 已知命題p：任給實數x，恒有|x|>-2成立；命題q：任給實數x，恒有x<2或x>-2成立.命題r：任給實數x，恒有x<2成立，或任給實數x，恒有x>-2成立.判斷p、q、r的真假.

解容易知道p是真命題.

任給實數x，對于x<2和x>-2，至少有一個是成立的，所以命題q是真命題.

因為“任給實數x，恒有x<2成立”是假命題；“任給實數x，恒有x>-2成立”也是假命題.根據邏輯中的或取規則“兩假便假”，可知r是假命題.

值得注意的是：p是簡單命題；理解q時，務必要把“x<2或x>-2”看成一個整體；命題p等價于命題q；r是復合命題；q與r并不等價.

例10 定義在R上的函數f(x)滿足|f(-x)|=|f(x)|，判斷f(x)的奇偶性.

錯解由題意得f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，

即對于R內的任意一個x都有f(-x)=f(x)成立，或對于R內的任意一個x都有f(-x)=f(x)成立.

所以f(x)是奇函數，或者是偶函數.

正解題意為對于R內的任意一個x，都有|f(-x)|=|f(x)|.

即對于R內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，

也即對于R內的任意一個x，f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)至少有一個成立即可，其含義為當自變量x取相反數時，函數值在相等、相反、既相等又相反(此時函數值為0)三種情況中至少滿足一種.

所以f(x)可能是奇函數，也可能是偶函數，也可能是既奇又偶函數，也可能是非奇非偶函數.

5 總結

恒成立問題，與一般的解方程、解不等式問題很容易混淆，但它們是兩類不同性質的問題.特別地，含“或”的恒成立問題：“?x∈M,p(x)∨q(x) ”并不等價于“?x∈M,p(x)或?x∈M,q(x) ”.前者的含義為：對于M中的任意一個x，p(x)和q(x)中至少有一個成立；后者的含義為：對于M中的任意一個x，p(x)都成立，或者對于M中的任意一個x，q(x)都成立. 顯然，前者推不出后者，但后者可以推出前者.

數列方程與一般的方程在意義上有所不同.如數列方程an=n實際上是函數，其表示數列1,2,3,4，…；而方程x=n是一個平凡的方程，表示x就等于n.

含“或”字的數列方程與含“或”字的一般方程在解的個數上也是不同的.如由方程(x-n)(x-2n)=0，n∈N+，解得x=n或x=2n，方程的解集為{n,2n}，是2個元素的集合；而數列{an}滿足(an-n)(an-2n)=0，解得an=n或an=2n，此時數列{an}的第n項，既可以取n，也可以取2n，因此滿足要求的數列{an}的個數有無窮多.