一道“游離”模型的中考最值問題

江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 (郵編：210019)

近幾年，筆者陸續(xù)加了幾個數(shù)學(xué)解題研究的QQ群，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題研究出現(xiàn)了一個誤區(qū)：過度關(guān)注試題解法“模型”，刻意強化解題模型識記，數(shù)學(xué)解題逐漸形成了套“模型”解題，數(shù)學(xué)解題教學(xué)課有被“模型”化的傾向．遺憾的是不少教師還以為找到解題的捷徑和提高學(xué)生分數(shù)的法寶，熱于追捧，樂此不彼．長此以往，數(shù)學(xué)解題的趣味性、思維性必將喪失．中考試題中的把關(guān)題如何精雕細琢，使其既能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，又能避免學(xué)生套用模型走捷徑，是引導(dǎo)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的“風(fēng)向標(biāo)”，值得命題者慎思．2019年浙江省臺州市數(shù)學(xué)中考試卷的第16題就是一道“游離”模型、考查能力的好題．

圖1

1 由“BD=4且BD∥l1∥l3”聯(lián)想構(gòu)造“A”型相似三角形

圖2

解法1 如圖2，延長CB交l1于點E，

且△CBD∽△CEA，

因為∠ABC=90°，所以∠ABE=90°，

圖3

解法2 如圖3，延長AB交l3于點E，

取CE中點M，連接BM，以下同解法1(略)．

2 由“BD=4且聯(lián)想構(gòu)造“X”型相似三角形

圖4

解法3 如圖4，作EA⊥AB交l2于點E，

則AE∥BC，所以△AED∽△CBD，

圖5

解法4 如圖5，作EC⊥CB交l2于點E，

取BE中點M，連接CM，以下同解法3(略)．

評注筆者曾在2017年《中學(xué)數(shù)學(xué)》(初中版)第6期發(fā)表“打造中線 破解最值”一文，上述4種解法借助相似三角形求出直角三角形斜邊長度后，正是采用的此法．無獨有偶的是，2019年深圳中考壓軸題的最后一個問題，也是求兩條線段之比的最大值，利用此法可直接秒殺，有興趣的讀者不妨一試．

3 由“BD=4且∠ABC=90°”聯(lián)想構(gòu)造“K”型相似三角形

圖6

解法5 如圖6，過點B作EF⊥l2分別交l1、l3于點E、F，

過點D作GH⊥l2分別交l1、l3于點G、H，

設(shè)AG=2x，則CH=3x，

進而AE=4-2x，CF=4+3x，

故n的最大值為5，

4 由“BD=4且m表示直線l1、l2之間的距離”聯(lián)想面積法

圖7

解法6 如圖7，過點D作DE⊥AB交AB于點E，

設(shè)AE=2k，則BE=3k，AB=5k，

評注與前4種解法不同，解法5、6是從代數(shù)的角度構(gòu)建函數(shù)，再利用配方法求解，這也是求解最值問題的自然解法之一．

研究解題過程，不是去尋找萬能的解題模式，而是力圖揭示人的思維活動過程和解題的有效途徑，它重在培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力和從數(shù)學(xué)的角度去分析問題的素養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會獨立思考，體會數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方式，使學(xué)生終身受益；它是數(shù)學(xué)教師的立足之本，是數(shù)學(xué)活動的基本形式和主要內(nèi)容，是師生的一個興奮中心．模型是一把雙刃劍，借助重要的模型來解題無可厚非，但數(shù)學(xué)教學(xué)切不可課堂動輒言談解題模型，尤其是一些脫離學(xué)生實際、不著邊際的“模型”．