激活知識串講方法提升素養
——對一道高三模擬題的多解與教學思考

江蘇省太倉高級中學 (郵編：215411)

安徽省馬鞍山市第二中學 盧建軍 (郵編：243000)

近日，筆者對一道市級高三模擬考試題展開解法探究與教學思考，以期對高三習題教學有所啟發．

試題(2019年馬鞍山市高三模擬考理科第16題)在△ABC中，∠BAC=60°，點D在線段BC上，且BC=3BD，AD=2，則△ABC面積的最大值為．

這是一個三角形面積的最值問題，試題平和樸實、內涵深刻，給人以“題在書外，根在書內”的感覺，并自然地將等與不等、消元思想、數形結合思想等融為一體，考查學生綜合運用解三角形的相關知識和方法，以及平面向量、不等式、平面幾何的相關知識和分析問題、解決問題的能力，較好地檢測考生的數學素養與學習潛能．

1 解法探究

圖1

①

②

評析該解法屬解三角形問題的通性通法，激活余弦定理和基本不等式的相關知識，教學中關鍵要引導學生“由已知看可知，再由未知看需知”．針對多變量代數式的處理體現了消元的思想，解法自然，學生易于想到.最后關注取等條件，同時激活了角平分線定理等知識．

9AD2=4AB2+AC2+4AB·ACcos60°≥4AB·AC+2AB·AC，即6AB·AC≤36，即bc≤6. 下同解法一．

由2S△ABD=S△ACD可得，

③

④

解析該解法激活了三角函數的相關知識，用角α來表示邊b,c，最終將面積表示成關于α的三角函數式，進而求出最值，體現了利用函數思想求最值.

解法四由斯特瓦爾特定理可知，AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC=BC·CD·BD，

解析該解法激活了平面幾何等相關知識，其本質同解法一，只不過建立三邊關系式的途徑不同而已.

圖2

解析從本質上看解三角形也是平面幾何的知識，我們知道像這一類動態三角形的問題都有著幾何背景，通過平面幾何知識將該問題轉化為一個基本問題：已知三角形中的一邊及其對角，求面積的最大值. 巧用外接圓，妙解三角形. 體現了化歸與轉化的思想，讓學生感受到任何一道難題都可以轉化為我們曾經熟悉的問題．

2 問題推廣

對試題進行一般化的推廣探究，是學習解題的重要法寶之一.通過一般化探究，去除問題中非本質屬性，執問題的牛耳.

當且僅當AD為∠BAC(或其外角)平分線時取得最大值．

圖3

當λ<0或λ>1時，

3 變式訓練

題1 (2014年高考全國1卷理科第16題)已知a、b、c分別為△ABC的三個內角A、B、C的對邊，a=2，且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，則△ABC面積的最大值為.

題2 (2018年高考江蘇卷第13題)在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC與點D，且BD=1，則4a+c的最小值為．

題3 在△ABC中，∠BAC=30°，點D在線段BC上，且BC=3CD，BC=3，則AD的最大值為．

題4 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a2+2b2+3c2=1，求△ABC面積的最大值.

4 教學思考

上述三點可以看作是習題教學中教師備課的內容，從典型例題的選擇，到解法的探究與推廣，再到后期提供給學生的變式訓練，經歷了“選題——講題——練題”三步曲．

作為教師，我們在試題研究中做到以上幾點，對錘煉自身內功是大有裨益的，而且唯有課前深入備課，方能課中精彩演繹．一題多解就是在挖掘每個數學問題的“營養價值”，不能“入寶山而空返”，看似在講解一道題，殊不知以及豐富聯想、激活串講了多個知識點，如此達到“以少勝多”、“舉一反三”、“融會貫通”的功效，學生的能力素養在潛移默化中得到提升．

我們也經常聽到這樣的質疑聲：課堂上如果這樣玩一題多解，會不會耽誤教學進度，有的解法需要教給學生嗎，需要給學生講授一般化推廣嗎？這些思考與質疑不無道理，如果我們拋開學生，孤芳自賞，展示解法，那就好比“一個壯漢在秀肌肉”，其教學效果可見一斑．但我們也不能“因噎廢食”，誠然，不是所有的題目都適合一題多解，也不是所有學生都適合一題多解，最根本的是要因材施教，以學定教，多關注學生的表現和感受，講解習題時做到“關注學情、充滿激情”．

不同學生，不同時期，我們所教的知識側重點應有所區別，尤其在高三后期的習題教學中，學生在已經掌握通性通法的階段，我們要盡可能多地傳遞解題思路、滲透思想方法、揭示問題本質．讓我們的課堂“少一點套路，多一些理性”，讓我們的學生擁有更多的問題視角，突破思維定勢，從容自如地應對各種新問題，成為一個善于思考、獨具個性的學習者，而不是知識的容器，這就是教育成功的最大收獲．