殘缺區間合作博弈及其在農地污染治理中的應用

崔春生， 林 健

(1.北京物資學院 北京市智能物流系統協同創新中心，北京 101149; 2.福建農林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002)

0 引言

合作博弈是局中人通過結盟合作以實現盡可能大收益的競爭模型。大到國家與國家、集體與集體，小到人與人之間，都存在在廣泛的競爭與合作現象。在潛在競爭的環境中尋求結盟合作的必要性日益凸顯，合作博弈正是在這樣的背景下日益發展起來。合作博弈的研究核心是局中人的收益分配問題，即合作博弈的解概念及其求解模型。Shapley[1]從局中人邊際收益的概率加權期望值角度，提出了合作博弈的Shapley值。自Shapley值提出以來，在社會生產、行業經濟等各個領域得到了廣泛的應用[2～4]，已成為迄今為止最重要的合作博弈的解概念。

隨著人類社會的不斷發展，信息日益膨脹的同時其結構也在不斷變遷。由于受知識結構、社會背景、所處環境等因素的制約，聯盟的收益值經常不能準確獲取，而往往以區間數的形式給出。特別是前期合作經驗較少的聯盟，此類聯盟的收益信息很難預先準確評估，從而只能通過估算其收益的可能取值范圍，來給出合作博弈的區間聯盟值。基于上述背景及實踐的需要，學者們已針對具有區間收益值的合作博弈問題展開研究，并提出了一系列有效的解概念。于曉輝等[5]通過拓展經典合作博弈的代數公理體系，將具有區間支付的合作博弈應用于供應鏈的協調利益分配。譚春橋等[6]基于解概念的嚴格公理體系，探討了區間合作博弈的理論框架，并研究了區間Shapley值的存在唯一性。Alparslan-Goek[7]等通過定義具有區間支付合作博弈的相關概念，構建了在有效性、可加性、啞元性等框架下的唯一Shapley值公式。Han[8]等基于區間摩爾差運算和完全序，給出了一類新穎的合作博弈的區間Shapley值，探討了該解存在的必要條件。通過引入系列類Shapley值的概念，進一步對相關結論進行了有效拓展。于曉輝[9]等結合區間數的運算性質，提出了具有唯一表達形式的區間合作博弈的區間Shapley值。

在合作博弈的應用過程中，由于合作博弈潛在的對抗性以及收益信息獲取的復雜性，經常出現部分聯盟的收益值無法獲取的情形。針對這類信息殘缺的合作博弈問題，Letscher[10]給出了具有殘缺聯盟值的合作博弈框架，分析了該框架下合作博弈的解概念。Housman[11]針對一類特殊的收益值殘缺合作博弈問題，建立了殘缺合作博弈的加權Shapley值，分析了該加權Shapley值滿足的優良性質，驗證了該值與傳統Shapley值間的兼容性。Willson[12]在線性性、單調性、對稱性等公理下，探討了聯盟收益值殘缺的合作博弈的一類Shapley值。Masuya等[13]在合作博弈超可加性的基礎上，定義了殘缺合作博弈的上、下完全合作博弈，并定義了相應的有效Shapley值計算方法。林健等[14]通過定義殘缺合作博弈的一致性，基于正、負理想分配，提出了一個滿足存在性與合理性的理想Shapley值公式。Lin等[15]綜合分析了互補聯盟之間的超出值關系，并由此定義了殘缺模糊合作博弈的最小二乘雙核仁，分析了該解概念滿足的公理性質。

本文首先給出了殘缺區間合作博弈的基本概念，通過收益值信息的超可加特征，建立了聯盟收益值的一致性檢驗模型。其次基于合作博弈的正、負理想分配，構造了收益分配與正、負理想分配之間的距離，并由此提出了殘缺區間合作博弈的區間Ideal-Shapley值，分析了該值滿足的合理性與存在性。最后將上述殘缺區間合作博弈模型應用于農地污染治理的節約成本分攤問題，以突顯本文方法的有效性與優越性。

1 區間合作博弈的基本概念

設全體局中人的集合N={1,2,…,n}，N的冪集記為P(N)。?S∈P(N)，S稱為N上的一個聯盟。記R+={x|x≥0}，?a,b∈R+，若a≤b，則稱[a,b]為一個非負區間數。全體非負區間數的集合記為Ω+。

(1)k·[a1,b1]=[ka1,kb1],k>0；

其中運算“-H”稱為區間數的廣義Hukuhara差。

定義1.3[5]若對?S1,S2∈P(N),S1∩S2=?，均有

(1)

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

(2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

(3)

超可加性是局中人形成聯盟合作的基礎，也是聯盟維持穩定性的有效保障。當局中人形成合作后，由超可加性知，局中人的整體收益總和增加了。從而，合理分配大聯盟的收益成為合作博弈研究的一個核心問題。

2 殘缺區間合作博弈及其一致性擴充

由上述定義易知，殘缺區間合作博弈中空聯盟、大聯盟以及單人聯盟的區間收益值是已知的，這將是后續進行殘缺區間收益值擴充的基礎。

從模型(M-1)的約束條件易知，?S∈Δ，指標集ε(S)不一定是唯一的。

為了獲取殘缺合作博弈中實數收益值的上、下可能邊界，Masuya[13]基于超可加性給出了上、下完全合作博弈的定義，巧妙地分析了殘缺合作博弈的潛在收益邊界。通過對殘缺實合作博弈元素擴充方法的區間拓展，可定義殘缺區間合作博弈的上、下完全合作博弈如下：

3 殘缺區間合作博弈的區間Ideal-Shapley值

模型(M-2)的前兩個約束刻畫了區間合作博弈中局中人的個體理性，第三和第四個約束反映了大聯盟的集體理性。第五和第六個約束條件是區間Shapley值的具體表達形式。第七和第八個約束條件是超可加合作博弈的必要特征，第九和第十個約束條件是上完全區間合作博弈和下完全區間合作博弈對殘缺元素的擴充限制。根據區間Shapley值的有效性和合理性，故可略去模型(M-2)的前四個約束條件。假設大聯盟對正、負理想偏差無額外的偏好，為了兼顧正、負理想偏差在最終分配確定時的作用，可將多目標優化模型(M-2)轉化為相應的單目標優化模型(M-3)如下：

v+(S1∪S2)≥v+(S1)+v+(S2)

v-(S1∪S2)≥v-(S1)+v-(S2)

S1,S2,S1∪S2∈P(N),S1∩S2=?

|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|>1

單目標優化模型(M-3)中增加了約束條件|{S1,S2,S1∪S2}∩(P(N)Δ)|，確保了超可加約束中至少出現兩個未知收益值，有效避免了冗余約束重復出現的問題，可很大程度上降低計算的復雜性。

(4)

(5)

5 污染聯合治理應用

設某城郊農地周邊有三家化工廠(局中人1、2、3)，由于化工廢水、廢料等排放不當，現已導致工廠周邊的農地出現嚴重的污染。為了維護農地的可耕作性以及人們的食品安全，當地政府責令這三家當事化工廠繳納相應的治污費用，在停止排污的同時對周邊農地進行污染聯合治理。由于當地政府嚴格督促，當事化工廠也積極配合治污，經專家組估算在污染治理結束后會比預期節約成本12至18萬元。由于各化工廠在治污人力、技術和維護等方面均存在優劣差異，對節約成本的再分攤方案也應兼顧治污各方的公平和效率。由于各化工廠間合作經驗較少，故各聯盟的節約成本值往往難以精確估計，更常見的是以區間估值范圍的形式給出，甚至會出現某些聯盟的節約成本值無法獲取的情形。下面采用區間Ideal-Shapley值，給出農地污染治理的節約成本分攤策略。

化工廠1與其余兩家化工廠有過頻繁的前期交流合作，故彼此較為熟悉。但化工廠2和化工廠3之前沒有合作過，導致聯盟{2,3}的節約成本值難于預估。已知各聯盟的節約成本值分別為：

假設大聯盟對風險保持中立，故可取參數λ=0.5。從而有

進一步，模型(M-3)可建立如下:

6 小結

隨著社會生產與行業經濟的不斷發展，人類所處環境的復雜不確定性日益凸顯。由于受知識結構、行業背景、社會環境等因素的制約，聯盟的收益值往往無法準確獲取，甚至有時會出現部分收益值完全未知的情形。本文針對部分收益值殘缺的區間合作博弈問題，通過考察殘缺區間收益值的上、下可能邊界，構造相應的上、下完全區間合作博弈。基于超可加性驗證了殘缺區間合作博弈的一致性。定義了正、負理想分配，并由此構建區間Ideal-Shapley值的有效求解模型。結合農地污染治理的背景特點，將上述求解模型應用于節約成本的再次分攤問題，可為相關部門的實踐應用提供必要的理論依據與數據支持。