應用數學思想，提升解題能力

江蘇省淮陰中學教育集團新淮高級中學 張 艷

高中數學的學習已經到了一個較為深入的階段，學生解決問題的方法已不再局限于一個蘿卜一個坑，而更多地在于將數學思想和數學方法進行組合應用，解決難題。因此，對學生來說，數學思想的掌握是非常重要的，其中，基礎的函數思想、方程思想和不等式思想是最容易被大家忽略的。接下來，我會將這幾種數學思想的具體用法與大家分享。

一、函數思想，實現轉化

函數的表示方法是多種多樣的，包括解析法、圖像法和列表法。通過這些表示方法，我們可以實現數字與圖像之間的轉化。因此，應用函數思想，可以簡潔迅速地解決很多復雜的問題。

數學題的解法并不是唯一的，但是一定有最優解。通過函數思想，實現代數式與圖像之間的轉化，往往能夠簡化運算，使結果更加明了。如綜合題：求函數f(x)=x-cosx在實數R內零點個數及所在區間[m,m+1]。一開始，大家會認為這是一道純計算的問題，打算用求導的方法來解決：首先對函數進行求導得f’(x)=1+sinx≥0，那么函數f(x)在實數范圍內單調遞增；當x趨于負無窮時，f(x)＜0，當x趨于正無窮時，f(x)＞0，因此函數f(x)在實數范圍內的有且僅有一個零點。接下來關于零點范圍[m,m+1]的問題就很難解決了，只能通過二分法不斷計算，同時，中間還涉及余弦值，困難可想而知。所以，綜合考慮下來，這道題不適合用求導的方法來解決。因此我們可以考慮通過函數思想來解決，需要求f(x)=x-cosx的零點，相當于求函數y=x和y=cosx的圖像在實數R上的交點個數和范圍。那我們畫一個平面直角坐標系，分別將函數y=x和y=cosx的圖像表示出來，結果是非常清晰的：兩圖像僅有一個交點，交點范圍為[0,1]。

代數式是抽象的，在解決問題過程中有很大的局限性。因此，通過函數表達形式的多樣性，可以實現代數式與函數圖像的轉化，從而將抽象內容直觀化。事實證明，數形結合方法在很多數學題中都有很大的優勢。

二、方程思想，動中求靜

根據解的范圍求方程中參數的問題是比較復雜的，因為僅知道范圍，但中間的可能情況卻非常多。根據方程思想，我們可以對宏觀條件進行分析，找到共同特征，實現動中求靜，最終解決問題。

顯然，方程的根的問題是不斷變化、非常復雜的，但是通過方程思想，我們將條件拆解進行總體分析，就能夠得到共同特征，從而進行求解。通過這種方法，我們可以實現動中求靜，簡化計算。

三、不等式思想，探析數量關系

不等式問題的存在形式非常廣泛，很多時候是和函數相結合的，函數的定義域和值域就是不等式存在的最佳形式。因此，教師一定要培養學生洞察條件的能力，可以從隱藏條件中尋求突破口，從而探析其中的數量關系。

通過不等式思想，我們可以實現代數式與函數之間的轉化，其中的取值范圍問題也可以輕松地轉化為函數的定義域和值域。通過這樣的轉化，學生在探析其數量關系方面的解題能力可得到大大提升。

初中階段的很多考點會變成高中階段的解題工具。因此，希望大家認真思考函數思想、方程思想和不等式思想的適用范圍和具體用法，同時也可以在學習過程中自行總結，讓這些思想為解題獻力。