找尋零點的策略探究

江蘇省無錫市洛社高級中學 徐榮新

在函數的解答題中常遇到零點個數的問題，由于題型的要求，我們需要嚴謹解答，而不是模棱兩可或者簡單的“由圖可知”，那么到底應該如何作答？本文旨在認識到可能的錯誤性基礎上嘗試給出理論依據和常見的策略。

x （0，10） 10 （10，+∞）f'(x) - 0 +f(x) 遞減 極小值 遞增

所以f(x)的最小值為f(10)=ln10-3 ＜0，

故函數f(x)在區間（1,10）和（10，e+）之間各有一個零點，又由單調性可知函數f(x)有且僅有兩個零點。

注解：此題為了說明存在兩個零點，并沒有直接由單調性得到，而是在單調性的基礎上利用零點存在性定理，找到了函數值為正和為負的點，進行了嚴謹的代數說明。

基于上面這個例題的剖析，我們意識到在解答題中確定零點問題不能想當然，唯一合理的依據是零點存在性定理，即“一般地，如果函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數y=f(x)在區間(a,b)內有零點”。但問題的關鍵也在于如何找尋函數值為正或為負的點，下面我們就來歸納找尋正負函數值，從而確定零點的方法。

例1：設函數f(x)=lnx-ax，其中a為實數。試判斷函數f(x)零點的個數，并證明你的結論。

（1）當a=0 時，函數f(x)=lnx，顯然存在一個零點。

（2）當a＜0 時，f'(x)＞0，函數f(x)在（0，+∞）上單調遞增，

顯然f(1)=-a＞0。（此處取值采用了針對lnx的特殊值）

已知函數m（x）=x2，函數n（x）=a+1（a∈R）。

（1）若a=2，求曲線y=n（x）在點（1，n（1））處的切線方程；

（2）若函數f（x）=m（x）-n（x）有且只有一個零點，求實數a的取值范圍。

問題（1）略；問題（2）的答案為a≤0 或a=2。