利用直觀(guān)想象結(jié)合鄰域分析解決參數(shù)問(wèn)題

金聲

近年來(lái)，教育界對(duì)于培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)問(wèn)題日益重視。數(shù)學(xué)學(xué)科提出 “數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”、“直觀(guān)想象”、“數(shù)學(xué)建模”、“數(shù)學(xué)運(yùn)算”、“數(shù)據(jù)分析”這六大學(xué)科核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成的，滿(mǎn)足學(xué)生終身學(xué)習(xí)和社會(huì)發(fā)展需求的綜合能力與品質(zhì)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)。

在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，通過(guò)圖像的直觀(guān)想象能夠?qū)?fù)雜的函數(shù)“看”簡(jiǎn)單，還能夠架起方程（不等式）通往函數(shù)的橋梁。近幾年的高考函數(shù)壓軸題中涉及求參數(shù)值、參數(shù)范圍的問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)解答往往能夠一針見(jiàn)血地將參數(shù)的臨界值找到，并證明其滿(mǎn)足條件，而老師和學(xué)生看解答總是不明覺(jué)厲，嘆為觀(guān)止，但親自動(dòng)手做題卻只能束手無(wú)策。本文正是利用直觀(guān)想象結(jié)合鄰域分析，探尋參數(shù)的臨界值。

一、鄰域的概念與解題的價(jià)值

為研究一些關(guān)鍵點(diǎn)x0（比如極值點(diǎn)、最值點(diǎn)和零點(diǎn)等）附近的情況，可取區(qū)間（x0-δ，x0+δ）叫作x0的鄰域（不妨理解為區(qū)間，下文不再另外說(shuō)明），其中δ>0可以非常小。（x0-δ，x0）和（x0，x0+δ）分別叫x0的左右鄰域。

由初等函數(shù)的連續(xù)性（即圖象連續(xù)不斷，高中階段大部分學(xué)習(xí)的函數(shù)都是簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，在不間斷的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的），導(dǎo)函數(shù)也常常是連續(xù)的，由函數(shù)在x=x0滿(mǎn)足性質(zhì)，可以取某個(gè)δ，使得函數(shù)在區(qū)間（x0-δ，x0+δ）也具有相同的性質(zhì)。這樣就把在整個(gè)函數(shù)的定義域上比較復(fù)雜的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到了某個(gè)小區(qū)間上，為研究問(wèn)題提供了更強(qiáng)的條件。

本文畫(huà)出函數(shù)在小鄰域處的草圖，通過(guò)直觀(guān)想象，將圖像與其對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)的分析過(guò)程呈現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了化抽象為具體。其中使用到一些簡(jiǎn)單的高數(shù)知識(shí)，僅作為分析使用，不在書(shū)面解答中呈現(xiàn)。

四、方法綜述

這樣的直觀(guān)想象結(jié)合鄰域分析不失為一件解決與關(guān)鍵點(diǎn)x0附近的情況有關(guān)的問(wèn)題的神兵利器，將參數(shù)問(wèn)題中諱莫如深的臨界值猜測(cè)出來(lái)。但此方法通過(guò)分析，只能找到結(jié)論的充分條件或必要條件，并不能保證它是充要條件，需要對(duì)其充要性進(jìn)行檢驗(yàn)。

直觀(guān)想象與邏輯推理也是密不可分的，直觀(guān)想象會(huì)把看到的與以前學(xué)習(xí)的結(jié)合起來(lái)，猜想出一些可能的結(jié)論和論證思路，但這僅僅是合情推理，還要靠邏輯推理支撐，不能把直觀(guān)想象與其他核心素養(yǎng)割裂。

【備注：本文系福建省中小學(xué)名師名校長(zhǎng)工作室專(zhuān)項(xiàng)課題，課題名稱(chēng)：互聯(lián)網(wǎng)自媒體環(huán)境下高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)的微課應(yīng)用研究，課題編號(hào)：GZS180104】