高彎曲承載能力齒輪過渡曲線及齒形參數研究＊

朱燃燃，晉民杰，范英，元艷玲

（太原科技大學 交通與物流學院，山西 太原 030024）

關鍵字：齒根過渡曲線；壓力角；齒高系數；彎曲承載能力

引言

齒根彎曲承載能力與過渡曲線形狀密切相關，而齒形參數及齒輪加工刀具又直接影響齒根過渡曲線，因此有必要針對不同的過渡曲線，分析刀具加工參數及齒形參數對齒根彎曲強度的影響。針對標準齒輪及四種齒根過渡曲線，國內外學者做了大量研究[1][2]：李杰、王麗萍等研究了不同過渡曲線對齒根彎曲應力的影響，為高彎曲承載能力齒輪的設計提出依據[3-4]；于東洋、閆靠、朱燃燃等人主要研究齒輪加工刀具對齒根彎曲承載能力的影響[5][7]；王建、羅善明等人以高重合度為目的，建立壓力角與齒廓方程數學模型，主動設計滿足不同重合度需求，傳動更平穩，承載能力更好的齒輪[6]。

綜上所述，國內外學者多是單一分析齒根過渡曲線對齒根彎曲應力影響或單一分析非標齒形參數對彎曲承載能力的影響，而很少將齒形參數及齒根過渡曲線加工兩方面聯系起來。本文以提高齒輪彎曲承載能力為目的，考慮齒形參數及四種不同過渡曲線，建立齒根模型及折截面法數學模型，利用matlab 計算工具，探究齒形參數及過渡曲線對齒根彎曲承載能力的影響，最后將有限元計算結果與理論值對比，驗證其正確性，為設計高彎曲承載能力齒輪提供理論依據。

1 建立過渡曲線模型

本文涉及四種過渡曲線，第一種為齒條型刀具，刀頂曲線為圓角；第二種為齒條型刀具，刀頂曲線為單圓弧；第三種為齒輪型刀具，刀頂曲線為圓角；第四種為齒輪型刀具，刀頂曲線為單元弧。

1.1 刀具刀頂形狀

第一種刀具，刀頂齒廓如圖1（a）所示，其參數具有如下關系：

第二種刀具，刀頂齒廓如圖1（b）所示，其參數具有如下關系：

上式中，rρ為刀頂圓角半徑，c 為頂隙系數，α 為壓力角，m 為模數，為齒高系數，a 為刀具圓角CP 距中線的距離，b 為刀具圓角圓心CP 距刀具槽中心線的距離。

圖1 齒條型刀具齒廓圖

第三種刀具，刀具齒廓如圖2（a）所示，其參數之間關系如下：

第四種刀具，刀具齒廓如圖2（b）所示，其參數之間關系如下：

上式中zc為刀具齒數，rc為刀具分度圓半徑，rac為刀具齒頂圓半徑，αac為刀具齒頂壓力角。

圖2 齒輪型刀具齒廓圖

1.2 過渡曲線方程

圖3 齒條型刀具加工齒輪齒廓

用齒條型刀具加工齒輪，其延伸漸開線等距曲線的參數方程式如下：

方程式中，φ 與α'的關系為：

用齒輪插刀加工齒輪，其延伸外擺線等距曲線的參數方程式如下：

方程式中：

圖4 齒輪型刀具加工齒輪齒廓

在上述參數方程中，α'角是變參數，α'在αp～90°范圍內變化，αp是加工齒輪時齒輪插刀與齒輪的嚙合角。對應不同的α'角，分別帶入兩種過渡曲線刀具的參數，就可得到第三種過渡曲線或第四種過渡曲線上不同點的坐標。

2 齒根彎曲強度分析

折截面法計算齒根彎曲應力的數學模型如下所示：

上式中具體含義可參考文獻[5]

圖5 齒輪受力分析

J 值反映過渡曲線上的點對外加載荷產生的齒根彎曲應力的敏感程度，J 值越小則齒根局部應力越大。

3 壓力角、齒高系數對齒根彎曲承載能力的影響

本文重點對四種過渡曲線適用的壓力角、齒高系數范圍進行選取，在一定的變化范圍內優選最佳齒形參數及過渡曲線。

表1 被加工齒輪參數

3.1 四種過渡曲線適用的壓力角、齒高系數范圍計算

本文的研究目標是提高齒根彎曲疲勞強度，結合齒根不干涉及齒頂必要厚度，選取齒輪壓力角范圍為20°～25°，齒高系數范圍ha=0.8～1.2。

3.2 過渡曲線J 值計算

利用Matlab，將不同齒形參數下四條過度曲線得到的J值進行計算。標準齒輪下，四種過渡曲線的J 值隨γ 角變化的曲線表示在圖6 中。

圖6 標準齒輪下J 值隨γ變化曲線圖

由圖6 可以得出結論：

1）四條過渡曲線的J 值均有一個最小值，即齒根過渡曲線上具有一個局部應力最大值。

2）齒根局部應力最大的點隨著過渡曲線的不同而不同。

由上述結論可以證明該理論的正確性，按照(9)～(12)公式，計算齒高系數、壓力角變化時，第二種與第四種過渡曲線的齒根局部應力系數J 最小值變化關系，如圖7 圖8 所示。

圖7 齒條型刀具過渡曲線的J—ha、a 關系圖

圖8 齒輪型刀具過渡曲線的J—ha、a 關系圖

由圖7 可得出結論：齒條型單圓弧刀頂刀具加工齒輪時，隨著壓力角的增大，齒根局部應力系數J 最小值也逐漸增大，表示相同齒高系數下，增加壓力角，可以提高齒輪的彎曲承載能力。而壓力角相同的齒輪在齒高系數發生變化時，Jmin曲線是呈拋物線形狀，最高點出現在不同位置，當a=20°，Jmin 最大值出現在ha=1.05 時，當a=25°，Jmin 最大值出現在ha=1.15 時，這表明齒輪的彎曲承載能力與齒高系數不是簡單的線性關系，在設計高強度齒輪時要充分分析齒高系數對其影響。

由圖8 可知：齒輪型單圓弧刀頂刀具加工齒輪時，隨著齒高系數的增加，齒根局部應力系數J 最小值逐漸增大，表示相同齒頂壓力角下，增加齒輪的齒高系數，可以提高齒輪的彎曲承載能力。而在短齒情況下，壓力角的變化對齒輪的彎曲承載能力較小。

將兩種刀具加工齒輪的齒根局部應力最小值進行比較，得出下圖：

圖9 兩種加工方式產生的J 值比較

由上圖可以看出來，當壓力角為20°時，齒輪型刀具加工的齒輪彎曲承載能力要優于齒條型刀具加工的齒輪；當壓力角增大到23°時，齒高系數在1.05 附近齒輪型刀具加工齒輪的Jmin與齒條型刀具加工齒輪的Jmin出現了交點，即，當齒高系數小于1.05 時，齒條型刀具加工齒輪的彎曲承載能力要優于齒輪型刀具加工的齒輪，而齒高系數大于1.05 時，則情況相反。當壓力角繼續增加到25°時，交點出現在1.15附近，若壓力角繼續增加，交點會持續增大，最終齒條型刀具加工齒輪的彎曲承載能力要優于齒輪型刀具加工的齒輪。這為以后高彎曲承載能力齒輪的設計提供了依據。

4 有限元分析驗證

為了驗證上述結論的正確性，用有限元對不同齒高系數、壓力角的齒輪進行了建模分析。在ANSYS 中建立模型，載荷施加在齒頂，單位齒寬施加500N 力，選取表1 的幾種齒輪齒輪進行靜態分析。

表2 有限元分析的齒輪參數

圖10 為標準齒輪下齒條型單圓弧刀頂刀具加工齒輪的有限元應力云圖。分析齒根處最大應力。

圖10 齒根彎曲應力分布圖

表3 危險點位置比較

表4 過渡曲線對應點彎曲應力比較

由表4 可以發現，比較五種齒輪的齒根彎曲應力，符合圖9 的結論。在實際齒輪生產過程中，要綜合考慮齒形系數及過渡曲線加工方法，以獲得高的彎曲承載能力。

5 結論

根據上述的理論計算和有限元分析，本文的結論有：

（1）合理的選取齒形系數及過渡曲線加工方式，能有效降低齒根彎曲應力，提高齒根彎曲承載能力。

（2）用折截面法及有限元能有效、快速的推導出齒輪的危險界面位置及齒根彎曲應力，為實際生產中齒輪設計提供高效便捷依據，但有限元和常規計算也應與實驗結合，得到更準確、更有實際意義的結論。