基于余弦相似熵的滾動軸承狀態表征方法

徐從云，鄭近德，潘海洋，包家漢，劉慶運，丁克勤

（1.液壓振動與控制教育部工程研究中心，安徽 馬鞍山243032；2.安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山243032；3.中國特種設備檢測研究院，北京100029）

滾動軸承是旋轉機械最重要的部件之一[1]。軸承故障可能導致其他部件損壞和機器故障[1]。因此，有必要對滾動軸承運行狀態進行監測，以便及時準確地發現故障早期征兆，減少故障和事故發生。

由于滾動軸承工作環境復雜，其振動故障信號往往表現出非平穩和非線性特性[4]。非線性動力學中的復雜性特征由于能夠表征系統的非線性特征變化，在機械狀態表征中越來越受到關注。文獻[2]對大型旋轉機械振動測量產生的復雜度值的分析表明，機器中故障的起始和增長與復雜性值的變化相關聯。文獻[3]中建立了復雜性值與滾動軸承缺陷程度之間的定量關系，從而確定缺陷嚴重程度。

目前，量化非線性時間序列復雜性的方法，如樣本熵(Sample entropy，SE)[5]和模糊熵（Fuzzy entropy，FE）[6]已被相關學者應用于旋轉機械的故障診斷和狀態監測中。文獻[7]中利用多尺度樣本熵有效的實現了轉子故障類型的診斷；文獻[8]基于多尺度樣本熵構建了多尺度熵偏均值應用于軸承疲勞試驗，能夠有效地跟蹤故障發展趨勢。但SE 仍存在如下缺點：（i）對數據中不穩定的噪聲敏感[10]。在SE算法中，相似性檢查基于取決于幅度的切比雪夫距離，如果時間序列中存在高峰值或高幅度就會直接影響熵估計[11]，而實際數據中往往都會存在不必要的不穩定噪聲。（ii）無約束的熵值。SE 的估計基于自然對數，該自然對數計算相似模式的概率范圍是不可控的[10]。（iii）未定義的熵值。當數據長度超過10m時，SE 是有效的[12]，其中m表示嵌入維數。然而，隨著數據長度的減小，SE 可能產生不確定的熵值，因為在重構的m和(m+1)維相空間中存在很少的相似模式[13]。為此，文獻[6]提出了模糊熵（FE）的概念。文獻[9]將多頻率尺度模糊熵與極限學習機結合對滾動軸承剩余壽命預測取得了良好的效果。FE 在短樣本長度計算方面優于SE，但不是從標準SE 中產生的熵值。

針對上述問題，本文在SE 基礎上，采用角距離代替SE 中切比雪夫距離，并用香農熵代替條件熵，進而發展了余弦相似熵(Cosine Similarity Entropy，CSE)[10]，與SE相比，CSE不受幅度的影響，對數據尖峰值和小樣本長度更具魯棒性。

論文給出了CSE算法，研究了相似容限、嵌入維數和樣本長度對CSE 的影響，并通過模擬滾動軸承振動時間序列和模擬機器健康狀態及其退化的測試信號，將CSE與SE和FE進行了對比，結果表明CSE的熵值能夠監測噪聲時間序列的動態特性，且比SE和FE更穩定。最后，將CSE應用于滾動軸承退化特征的表征，實驗數據分析結果表明，CSE能夠比所對比的方法取得更好的效果。

1 余弦相似熵算法

(3)計算所有成對嵌入向量的角距離為

(5)計算相似模式出現的全局概率B(m)(rCSE)，即

(6)依據香農熵的形式定義余弦相似熵

由于使用香農熵來估計CSE，故熵值范圍為(0、1]。當CSE接近1時，認為時間序列在結構上復雜；當CSE 接近0 時，則認為時間序列在結構上較為簡單。與SE 相比，CSE 中會發生未定義的熵值，除非而在給定的相似容限水平下都會出現相似模式，這將在第2節中得到驗證。

2 參數的選擇

相似容限、嵌入維數和樣本長度都是影響熵值的重要參數。本文使用仿真信號研究不同的參數對CSE計算的影響，并給出合理參數范圍。

2.1 相似容限rCSE

為了研究相似容限rCSE對CSE的影響，考慮4種合成信號[10]：(1)高斯白噪聲WGN；(2)1/f噪聲；(3)由x(t)=0.9x(t-1)+ε(t)生成1 階自回歸模型AR(1)；(4)由x(t)=0.85x(t-1)+0.1x(t-2)+ε(t)生成2 階自回歸模型AR(2)，其中：ε(t)～N(0,1)。自回歸模型是常用的平穩序列的擬合模型，其系統隨著時間的增長漸進穩定。雖然WGN比1/f噪聲的不規則程度高，但1/f噪聲比WGN結構復雜。

由于角距離的邊界值范圍是0到1，故實驗采用的rCSE值從0.01 增加到0.99，步長為0.02，嵌入維數m=2，時延τ=1，樣本長度N=2 048。通過30 次獨立實驗獲得CSE 均值隨rCSE變化情況，結果如圖1所示。

圖1 不同相似容限下30次獨立實驗的CSE均值

由圖1可知，在rCSE=0.01～0.49范圍內，4種信號的CSE 隨著rCSE增大而增大，而在rCSE=0.51～0.99 范圍內，他們的CSE則隨著rCSE增大而減小。比較發現CSE 熵值，發現它們在rCSE=0.05～0.2 之間最能夠區分4種信號。雖然rCSE的范圍也能夠在0.5～1之間，但本文考慮較低區域，因為容限越小，相似性越大[10]，因此，本文選擇rCSE=0.07。

2.2 嵌入維數m

嵌入維數是影響熵值結果的重要參數，選擇不同的維數m=[1，2，3，…，10]，時延τ=1，容限rCSE=0.07，n=2，樣本長度N=4 096，通過30 次獨立實驗觀察嵌入維數對CSE均值熵的影響，結果如圖2所示。

圖2 不同嵌入維數下30次獨立實驗的CSE均值

由圖中可以看出，CSE在m=[2，3，…，10]均產生了有效的熵值，且熵值隨著m的增加而減小，這表明，隨著m的增加，重構嵌入向量軌跡越來越趨于確定性，結構復雜性越來越低[10]。m=1時CSE沒有值，因為至少包含兩個元素的向量的角距離才有效。因此，m=2 是用于計算CSE 的最小嵌入維數。由于嵌入維數m越大，CSE值越接近于0，因此，一般使用較小的嵌入維數，本文取m=2。

2.3 樣本長度N

樣本長度同樣是影響熵值的重要因素。本文選擇樣本長度N從10 增加到2 000，步長為10，選擇m=2，時延τ=1，容限rCSE=0.07，n=2，通過30次獨立實驗觀察不同的樣本長度CSE 均值，結果如圖3所示。

圖3 不同樣本長度30次獨立實驗的CSE均值

由圖3可以看出，CSE 從樣本長度N=20 開始產生有效熵值，當N≥600 時4 種信號的CSE 均值達到分離且逐漸趨于穩定，因此，CSE可以在小樣本長度產生有效熵值，本文選擇N≥1 000。

3 CSE與SE、FE對比分析

3.1 滾動軸承振動仿真

自回歸模型（AR）函數能夠模擬滾動軸承振動時間序列[14]，創建1 階自回歸模型AR(1)：x(t)=αix(t-1 )+ε(t)，其中ε(t)～N(0,1)，αi在+0.9到-0.9 之間線性變化，采樣頻率為150 Hz，采樣時長為100 s。采用6.667 s的滑動窗口，按80%的重疊沿著時間序列移動取樣。在嵌入維數m=2，時延τ=1，容限rSE=rFE=0.15，rCSE=0.07，n=2 的條件下，分別計算AR的SE、FE 和CSE結果如圖4所示。

圖4 線性變化參數的自回歸模型的SE、FE和CSE值

由圖可知，只有CSE和FE的熵值能反映信號在不同位置的變化，但CSE產生的結果更穩定。

3.2 滾動軸承狀態仿真

為了定量表征機器的健康狀態及其退化（隨著結構缺陷的嚴重程度增加），基于從滾動軸承測量的信號，本文采用文獻[15]測試信號s(t) 模擬滾動軸承的運行狀態，即

其中：x(t)是仿真原始軸承時間序列的4 個頻率分量的疊加，e(t)是噪聲。

分別計算7 個不同的信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）模擬信號的SE、FE 和CSE，結果如表1所示。

信噪比SNR的降低表明噪聲越來越大，類似于機器系統的惡化[15]。在表1中的“頻譜”列可看出，噪聲信號被添加到測試信號中，隨著SNR 的降低，對應信號中包含的頻率分量增加。通過模擬機器健康狀態的惡化，CSE 與SE、FE 值都提供了表征動態信號退化的定量測量，SNR增大不改變3種熵值，這表明它們對噪聲不敏感，但在SNR=25 dB時，SE和FE的值明顯變化，CSE 則在SNR=15 dB 時熵值明顯變化，說明CSE比SE和FE對噪聲更不敏感，表明CSE提供了一種有力的措施來監測噪聲時間序列的動態變化。

4 實驗數據分析

本小節使用數據由美國辛辛那提大學、美國智能維護中心(IMS)Jay Lee 教授課題組提供。實驗臺與整體結構如圖7所示。試驗臺主軸裝有4 個Rexnord ZA-2115 雙列滾柱軸承，兩端軸承固定，通過中間2個軸承由杠桿機構向主軸施加2721.6 kg正常大小的徑向載荷。試驗過程中各軸承均強制潤滑，4個軸承座上各裝有一個熱電偶測量軸承外圈溫度，以監視潤滑情況。數據采集期間每隔10分鐘采集一次振動信號，采樣頻率為20 000 Hz，各傳感器每次采集20 480 個數據點，總共采集984 個數據文件。

圖7 實驗臺與整體結構圖

選取數據庫第二次實驗的第二個滾動軸承的振動加速度信號，取數據庫984 個文件中每個文件的前8 192 個點作為樣本。在m=2，τ=1，rSE=rFE=0.15，rCSE=0.07，n=2 的條件下，分別計算SE、FE、CSE、均方根（Root Mean Square，RMS）值得到退化趨勢和對應的多項式（階數均設置為5）擬合曲線如圖8所示。

RMS值是系統的一般指標，其值變化能夠指示系統產生變化可能是出現缺陷導致[16]。文獻[17]指出，通常，熵曲線不顯示軸承退化的獨特行為，但能夠說明熵值及其變化是不規則分析和監測退化的有用措施。在每種情況下，將前兩百個點作為健康軸承參考，根據經驗設置閾值等于平均值±3 倍標準差，即thres=mean+3×SD（FE 的閾值設為thres=mean-3×SD）[16]。由圖8可知，RMS、SE、FE 和CSE分別在超過831、860、849 和827 點處的閾值時檢測到存在故障，CSE 能比其它3 種方法更早地檢測出故障的發生。

表1 具有不同SNR的模擬信號的SE、FE和CSE

圖8 滾動軸承表征及對應多項式擬合曲線

此外，為了更加直觀地觀察熵曲線所反映的軸承退化趨勢，對RMS、SE、FE 和CSE 對應的多項式擬合曲線求1 階導，RMS、SE 和CSE 對應的導數值取負值，得到結果如圖9所示。

圖9 不同特征的對應的1階導數曲線

結果顯示，RMS、SE、FE 和CSE 分別在694、680、716和672點之后導數均開始小于零，表明軸承性能開始持續衰退，CSE 要比RMS、SE、FE 能更早地發現退化，說明CSE 能夠作為表征軸承性能衰退的一種量度。

5 結語

（1）研究了一種新的非線性動力學參數余弦相似熵（CSE），研究了參數對其計算的影響，并給出了合理的參數范圍。

（2）通過滾動軸承的仿真和實驗數據對分析，將CSE與SE、FE進行了對比，結果表明CSE不僅能夠監測噪聲時間序列的動態和表征軸承性能衰退特征，而且能夠取得比RMS、SE 和FE 更好的表征效果。

盡管如此，本文方法仍有不足之處，如依賴參數過多。接下來將考慮如何對參數進行優化以及如何建立多尺度CSE的滾動軸承性能衰退評估指標。