“九宮圖”巧解PISA題

王睿潔

摘要：PISA是學生能力國際評價的簡稱。PISA測試義務階段完成以后，學生在閱讀、數學和學科方面便具備了應用知識、技能和解決問題的能力，為各國和地區政策分析和研究提供有價值的參考。PISA測試已得到世界大多數國家和地區的認可，加強對PISA試題的認識與研究，勢在必行。本文從認識與研究PISA試題的必要性，PISA試題的一般解法，“九宮圖”巧解PISA試題的經驗總結等，做以下論述。

關鍵詞：數學 ??PISA ???九宮圖

一、從認識與研究PISA試題的必要性

PISA是“國際學生評估項目”的簡稱，是國際經濟合作與發展組織發起的學生能力國際比較研究，測評大約15歲的學生是否掌握了全面參與社會所需要的問題解決能力和終身學習能力，聚焦在閱讀素養、數學素養和科學素養上。PISA自2000年首次開始評價，之后每3年進行一次，包含書面測試和問卷調查兩種評測方法。其評價理念具有前瞻性，評價技術先進，評價過程嚴密，評價結果有效，得到了世界上越來越多的國家和地區的認同和參與，現已發展成為國際上最具影響力的學業評價。

數學素養測試是PISA的一個主要方面。數學是現代文化的重要組成部分，對人的可持續發展具有重要意義。在思考數學對個人的意義時，必須考慮到他們對數學知識掌握和理解的程度，以及他們激活數學能力以解決生活問題的可能程度。PISA對數學的這種看法與傳統的學校中的數學有所不同，對學生的評價主要指向學生的學科素養，或者說是考查學生使用學科語言的能力。PISA主要向學生呈現發生在現實情境中的問題，其問題設計的方式就是要表明數學的各個方面對于解決問題都具有真實的效用。從PISA產生的背景、基本情況，及數學素養測試的框架可以看出，PISA具有先進的評價理念、科學的理論框架、靈活的題目設計、規范的操作程序、可比的評價結果。PISA數學素養測試及其結果，尤其是我國從2009年開始參與其中之后，對于教育相關領域具有重大的意義和價值。

PISA認為學生不僅需要知道如何去閱讀或理解特定的數學公式或概念，而且還要知道如何利用這些知識和技能在未來面臨的不同的生活實際中加以應用。因此，PISA試題突破以往考試模式，表現出新穎、靈活的特點，測試中往往把測試內容巧妙地融合到真實的問題情境中，從而在學生解決問題的過程中考查學生知識和技能的水平。

由于PISA測試的是在義務階段完成后進行的，即考查初中畢業生的學業完成情況，就如我們的初中學業考試——中考，因此，浙江省寧波市于2009年便開始在中考試題中加入PISA試題。要想學生在閱讀、數學和學科方面具備應用知識、技能和解決問題的能力;要想提高學生的數學素養;要想學生會利用閱讀或理解特定的數學公式或概念等知識和技能在未來面臨的不同的生活實際中加以應用，認識與研究PISA試題具有重要意義。

二、PISA試題的一般解法

為了使學生在閱讀、數學和學科方面具備應用知識、技能和解決問題的能力，為了使學生會利用閱讀或理解特定的數學公式或概念等知識和技能在未來面臨的不同的生活實際中加以應用，為了使學生提高數學素養，PISA試題表現出新穎、靈活的特點。PISA試題一般情況下有兩種解法：一、設元法;二、創新思維法。

例：（2016寧波中考）如圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張正方形紙片的面積為，則這個平行四邊形的面積一定可以表示為（ ???）

本題主要考查平行四邊形的性質和整式的運算。

解法一：設元法。設等腰直角三角形的直角邊長為、正方形的邊長為，則根據直角三角形的面積公式，得，。根據正方形的面積公式，得。平行四邊形的面積為，則本題正確答案為。

解法二：創新思維法。利用幾何知識，通過觀察發現平行四邊形中心對稱這一重要性質以及兩平行線間三角形同底等高面積相等這一特點來解題。如圖：

連接中間正方形對角線并延長，即可得，

所以，則本題正確答案為。

三、“九宮圖”巧解PISA試題模型

“九宮圖”起源于洛書，河圖與洛書是中國古代流傳下來的兩幅神秘圖案，被譽為“宇宙魔方”，河圖是伏羲時代，黃河里有龍馬躍出，身上有圖案，伏羲根據這個圖案畫出八卦，后稱此圖為河圖;而洛書相傳是大禹治水時代，洛水中浮出一只神龜，龜背上有星星點點組成的圖案，大禹得到啟發而治水成功，后稱此圖為洛書。后來為了直觀，就把星星點點轉化成了數字和九宮格的形式。而我發現對于PISA試題中的一類，我們可以借用“九宮圖”來幫助我們解題。通過上面我們了解到，PISA試題一般情況下有兩種解法，作為我們教師與學生，解PISA題的常規解法是我們必須要去探究并掌握的。

模型：

如圖，當我們發現該PISA題是以九宮圖為圖形背景的時候，我們就可以利用該模型解題。

我們可以通過設元法，在圖形中設這6個未知數，我們就可以將圖形中的所有線段表示出來，那我們就可以求出圖中所有矩形的周長以及面積，然后根據題目要求進行解題。

例、（2017寧波中考）一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形.在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個在大矩形的面積，則n的最小值是（ ??）

A.3 ???????????B.4 ????????????C.5 ?????????????D.6

解題思路：按照九宮圖模型，由于①和②是正方形，本題只需設這4個未知數即可。則，因為①和②是正方形，所以單獨的或可以確定圖形①和②的周長。

因此思路一：確定單獨的，則將、看成一個整體，、、分別可以確定下圖中2，4，9這3個矩形的周長;思路二：確定單獨的，則將、看成一個整體，、、分別可以確定下圖中3，5，7這3個矩形的周長，因此只需知道這3個小矩形的周長就能求出大矩形的面積，則本題正確答案為。

四、“九宮圖”巧解PISA試題應用

應用一：如圖所示，矩形ABCD被分割成五個矩形，且MH=PF，則下列等式中：

①②可以判斷甲、乙兩個矩形面積相等的是（）

A。①②都不可以 ??????B。僅①可以

C。僅②可以 ??????????D。①②都可以

思路：該題雖然沒有分為9個矩形，不是九宮圖，但是我們通過輔助線，同樣可以將圖形轉化為“九宮圖”模型進行解題。

解：將該圖形變為九宮圖，如圖所示，由于MH=PF，因此設這5個未知數。

則由①可得，，，

由②可得，，

而，，

則本題正確答案為。

應用二：如圖，大長方形是由一張周長為正方形紙片①和四張周長為、、、長方形紙片②，③，④，⑤拼成，若大長方形周長是定值，則下列各式中為定值的是（ ???）

A. ????????B. ???????C. ???????D.

思路：該題雖然沒有分為9個矩形，不是九宮圖，但是我們通過輔助線，同樣可以將圖形轉化為“九宮圖”模型進行解題。

解：將該圖形變為九宮圖，如圖所示，由于正方形紙片①，設這5個未知數。大長方形周長是定值可得是定值，而，，

，則本題正確答案為。

應用三：如圖，一個大平行四邊形被分割成5個小平行四邊形，其中⑤為菱形，若知道其中兩個小圖形的周長，可以不通過度量就能知道大平行四邊形周長，這兩個圖形可以是（ ???）

A.①② ???????B.①③ ???????C.②③ ???????D.④⑤

思路：該題與前幾題不一樣，不是我們熟悉的矩形，但是我們通過輔助線，將這個圖形就行轉換，同樣可以將圖形理解為傾斜的“九宮圖”模型進行解題。

解：將該圖形變為九宮圖，如圖所示，由于⑤為菱形，設這5個未知數。則，，，，

，而，則已知①③可以求出大平行四邊形周長，則本題正確答案為。

五、點滴感悟

隨著PISA研究進入國內后，我們通過各種相關介紹了解到PISA數學素養的測試主要考查學生為了“適應未來社會而需具備的數學能力”。PISA試題所要測評的數學素養不僅包含對數學基本知識和技能等方面的理解，還包括在不同情境下正確、合理地使用數學的能力。本文旨在使學生能夠理解并掌握PISA題的一般解法，尤其是能夠發現并運用“九宮圖”模型巧解PISA試題。

總之，為了減輕學生課業負擔，提高了學習效率，找到通向解決學生學習問題的橋梁是我們作為一名教師的本職工作。要成為一個有激情、有真情、有才情的教師，就要成為一名學習型教師，不斷學習，不斷反思，不斷總結;要成為一名研究型教師，研究教育，研究教學，研究學生，就要成為一名創新型教師，不斷創新思想，創新理念，創新方法;要成為一名擔當型教師，面對遠離本真的教育現狀，就要時刻提醒自己必須從學生的發展出發，不人云亦云，敢于挑戰與突破現實，做一個有良心負責任的敢于擔當的教師。對于PISA試題，我將會繼續進行探索、研究、總結、反思。

參考文獻：

[1]劉達，徐煒蓉，陳吉.基于PISA2012數學素養測評框架的試題設計一例[M].上海教育出版社，2014

[2]周鴻.初中畢業生數學學業水平考試命題初探——來自PISA測試的啟示.

[3]黃華.從PISA數學素養測試對國內數學教學的啟示，PISA數學素養測試與上海市初中畢業統一學業考試數學測試之比較[J].上海教育科研，2010

[4]高鳳萍.PISA數學素養測試對中國基礎數學教育的啟示[M].數學教育學報，2015