三角函數恒等變形中的易錯成因探究

摘 要：三角函數是高中數學的重要內容，也是高考考查的熱點之一。三角函數公式較多，學生容易犯慣性錯誤，暴露出學生的思維漏洞，影響學生數學學習效率。教師要探討三角函數恒等變形中的易錯原因，尋找解決辦法，提高學生的數學素養。

關鍵詞：三角函數；易錯；成因分析

三角函數恒等變形是三角函數的重要內容，它的學習情況決定了學生對三角函數知識的掌握程度。對高中生來說，這部分內容雖然公式多，但規律性較強，掌握起來較容易。但在利用三角函數恒等變形知識解決問題時，學生容易出現答案不完整等錯誤。本文主要對三角函數恒等變形中幾種常見錯誤成因進行分析，以提高學生學習效率。

一、忽視換元前后命題的等價性

換元法是解決復合函數以及某些方程問題的有效方法，運用得當則能夠極大地提高學生解決問題的能力。但是，在三角函數的恒等變形中，經常會出現忽視換元前后命題的等價性的錯誤情況。因此，運用換元法解題時必須注意換元前后命題的等價性。

例1： 已知方程cos2x+2sinx+2k-3=0在[0，2π]內恰有兩個實根，求實數k的取值范圍。

【錯解】原方程可化為sin2x-sinx+1-k=0. ① 要使方程①在[0，2π]內恰有兩個解，令t=sinx，則原方程化為t2-t+1-k=0. ② 令Δ=1-4（1-k）>0，得k>，所以所求k的取值范圍為（，+∞）.

通過換元法，把原方程轉化為關于t的二次方程，其方向正確，但把方程①在[0，2π]的兩解問題，轉化為方程②的兩解的問題，這一過程并非等價，其一是忽視了定義域的限制，其二是忽視了方程sinx=t，-1?t? 1解的多值性。

【正解】令t=sinx，得f（t）=t2-t+1-k=0. ② 由于f（t）是開口向上，對稱軸t=的拋物線，所以要使得原方程在[0，2π]內恰有兩個解，須且只須方程②在（-1，0）∪（0，1）上有且只有一個實根。所以，只須f（-1）>0

f（1）<0或Δ=0，解得1

二、忽視定義域的改變而導致錯誤

三角函數問題中的給值求角問題，必須關注已知角的取值范圍和所求角的取值范圍，角的范圍的擴大或縮小，均可能導致解題失誤。

例2： 已知f（x）=，求f（x）的最小正周期.

【錯解】原函數化簡，得f（x）=sin4x，因此T==.

研究復雜函數的周期性與單調性等問題，首先需對所給函數進行必要化簡，但在化簡過程中，應關注函數的定義域是否發生改變。

【正解】原函數化簡得f（x）=sin4x，其中x≠kπ+，kZ，所以T=π.

三、忽視角的關系導致失誤

例3：已知sin（α+）=，求sinα的值.

學生容易由sin（α+）=sinαcos+cosαsin及sin2α+cos2α=1，通過解方程組得sinα=，但其計算量過大，容易出錯。究其原因，是對三角恒等變換公式的本質理解不透徹。三角函數的恒等變換過程的選擇，首先應考察角的和差倍半關系，再考察其他特點。

因為α=（α+）-，所以sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin，結合sin2（α+）+cos2（α+）=1，易得sinα=.

四、忽視三角函數的有界性導致失誤

例4：已知sinaαcosβ=，求cosαsinβ的取值范圍。

【錯解】因為sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+cosαsinβ，結合-1? sin（α+β）?1，得-1?+cosαsinβ?1，所以-?cosαsinβ?.

實際上，由-1?cosα?1，-1?sinβ?1，可知-1? sinαsinβ?1，因此所確定的范圍是錯誤的，原因是考慮問題不周到。題目中同時出現sinαcosβ和cosαcosβ，學生易想到從考察sin（α+β）和sin（α-β）的關系入手，但由于只使用部分公式已得出結論，導致學生放松警惕而失誤。

【正解】由以上分析可得-?cosαsinβ?，同理由sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ，可得-?cosαsinβ?. 綜上，cosαsinβ的取值范圍是

-，

.

五、忽視角的取值范圍的作用而導致失誤

例5：已知tanα=m，其中m≠0，α

，

，求sinα的值.

【錯解】由tanα=m，得cosα=，代入sin2α+cos2α=1，得sin2α=，又因為α

，

，所以sinα=±=±.

通過同角關系，消去cosα，得到sinα的方程，進而解方程回答問題，其思路是正確的。但由于條件α

，

不能確定sinα的符號，但能確定cosα<0，因此，應根據角的范圍選擇公式和解題途徑。

【正解】由tanα=m，得sinα=mcosα，代入sin2α+cos2α=1，得cos2α=，又因為α

，

，所以cosα=-，從而sinα=tanαcosα=-.

三角函數的恒等變形是三角函數的重要組成部分。由于三角函數的豐富性質，以及運用公式進行恒等變形容易導致定義域發生變化，所以導致解題失誤。在三角函數的恒等變形中，要做到真正恒等，即保證變換前后的值的意義和范圍都是一致的，同時還需考慮公式的選擇使用，分析特殊情況，做到化簡為易。這要求學生深入探討三角函數中的易錯點、科學的思維方向，切實提高自身數學學習能力。

參考文獻：

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[2]廖軍.查漏補缺之三角函數[J].數學教學通訊，2011（29）.