初中生對mv²/2的猜想

尚元

摘 要：科學猜想與假說是通向真理的橋梁?？茖W猜想是在觀察與實驗的基礎上，根據科學原理和客觀事實，進行理性分析歸納以后，對未知的自然現象及其規律所做出的一種推斷設想。猜想與假設可以是正確的，也可能是錯誤的。本論文探討初中生在已有的物理和數學基礎上對動能的表達式進行的一些科學假設與猜想。

關鍵詞：牛頓第一定律 力 質量 運動狀態的改變 動能

一、牛頓第一定律的解讀及一個思想實驗

恩格斯評價牛頓：“借助于對力的本性的認識而創造了科學的力學.” 我們沒有捷徑，唯一的出發點就是寶貴的“牛頓第一定律”。牛頓在《自然哲學的數學原理》中的原始表述是這樣的：任何物體都要保持勻速直線運動或靜止狀態，直到外力迫使它改變運動狀態為止。也就是說，力是使物體運動狀態發生改變的原因。我們現在要做的是猜想牛頓所說的這個“力”該怎樣定量的去表述出來呢？從因果律來講，我們得從描述“運動狀態的改變”開始;另外，牛頓第一定律也叫慣性定律，質量大的物體，慣性大，質量小的物體慣性較小。對慣性大小，我們的解讀是：“改變物體運動狀態的難易程度”，也就是說質量越大的物體，由于它慣性大，要使它運動狀態發生明顯的改變，就需要我們施加更大的力，據此猜想：力在改變物體運動狀態過程中應該還和質量有關。到此，我們似乎找到了描述力需要的兩個特征：質量、運動狀態的改變。我們不妨進行這樣一個思想實驗：

在一個絕對光滑的平面上，靜止放置一個鉛球和一個乒乓球，用相同力度分別向兩個球輕輕吹一口氣。憑經驗，我們覺得該是看到怎樣的現象呢？明顯乒乓球立馬就運動起來了，而一旁的鉛球幾乎沒有運動起來，忽略空氣阻力，從此它們永遠勻速直線運動下去…

二、對力和質量關系的猜想

而我們要思考的是，為什么相同的力會有不同的運動效果，容易想到這正是之前說的，質量不同，慣性不同，運動狀態的改變也不同。也即質量越大的物體要達到相同的運動效果所需要的力也就越大，進一步猜測：F∝m（力正比于質量），這一點數學的直覺或許我們可以聯想到重力公式：G=mg來佐證。

三、對“運動狀態的改變”的量化猜想

到此，還剩下“運動狀態的改變”需要我們去量化。在《機械運動》章節中，我們就已經學習過了“速度”是用來描述物體運動狀態的。在這個思想實驗中，最終乒乓球和鉛球的速度確實一大一小，也就是速度的改變量是不一樣的，咋一看，這不就是我們要找的“運動狀態的改變”嗎？我們暫且記作速度的改變量分別為Δv1和Δv2。相同的力F，m1Δv2，難道我們要找的力就是F=mΔv？即F=m1Δv1;F=m2Δv2。我們似乎忽略了一點，“相同力度吹一口氣”我們只關注了力的大小，沒有注意到這個力作用在兩個小球上的時間。力的作用時間不同會不會同樣讓物體的運動狀態改變不一樣呢？答案是肯定的。也即我們可以用相等的力讓Δv1=Δv2，這就和F=mΔv相矛盾了。只不過這個時候“力的作用時間”是不同的?？磥韺Α傲Α钡拿枋鰬撨€離不開“力的作用時間”。

回到最初的思想實驗，我們在都“輕輕吹一口氣”的情況下，是默認了力的作用時間是一樣的，而最終兩球速度的改變量是不同的。實際上，還可以推測在這個吹氣過程中經歷任意小的一段時間速度的改變量也是不一樣的。于是我們不妨猜測Δv/Δt是不一樣的，即相同時間內物體速度的改變量不一樣。不應該簡單描述成是Δv不一樣。因此我們猜測“物體運動狀態的改變”指的是Δv/Δt。

四、 對“力”的定量猜想

于是我們有F=mΔv/Δt，而不是F=mΔv。到這里，可以說我們的思想實驗得到了一個重要的結論。當然，在此聲明，這個偉大的等式并不是這么簡單就得出來的，對于當年的牛頓來說，他有巨大的對數學敏捷的思維直覺才能，以及在實驗上有高度的嚴格性和技巧，最后再用清晰的邏輯頭腦進行歸納。”

五、功與能的轉化以及對勻加速直線運動路程的討論

我們有了功的定義：W=Fs，并且了解了功能關系：做功是能量變化的量度。要找物體的動能，應該要從力做功入手。在Δt時間段內，Δs=vΔt，于是W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt），這里的v是一個是隨時間變化的函數?，F在問題是這個函數關系是什么樣子？經驗告訴我們：重物的下落，我們在《測量平均速度》章節中做過的斜面小車的下滑等，物體在受一個力作用下速度是越來越快的。那具體速度是均勻在增加還是不均勻的增加？這里我們利用F=mΔv/Δt，恒定的力，在相等的Δt時間內，Δv=F·Δt/m應該是相等的，即速度均勻增加。

現在的問題是，速度v在Δt時間段內是均勻增加的，它們的乘積Δs=vΔt該怎么計算呢？這里我們需要一點點微分的思想，我們又把Δt分成很多很小很小的時間段，由于這個時間段非常小，以至于這個時間段內的速度我們可以近似看成恒定值，而這個很小時間段內的路程就近似等于某一時刻對應的速度值乘以小段時間，反映在圖象上：

圖中每個小矩形的面積大小即表示在這很小時間段內的路程?？梢钥闯?，所有小矩形面積之和將無線趨近Δt內圖象與t軸所圍面積（大三角形），小矩形越多，兩者差值越小。這就是積分的思想。即Δs=vΔt=Δt·v1·1/2。

于是，W=FΔs= mΔv/Δt·（vΔt）= m v1/Δt·Δt·v1·1/2= mv12/2.即一個物體受到一個恒力的作用從靜止開始運動，一段時間后速度增加到v，此時力所做的功轉化為物體的動能mv2/2。

結語

初中生接觸的物理多是對現象的簡單描述，是定性的，但對物理的初學者來說大膽的質疑，科學的假設與猜想，嚴密的邏輯推理應該是要慢慢去具備的一些思想品質，當然，結論或許只是哲學上的純思辨的產物，但也要經得起經驗的推敲，而后多去尋找事實真相，多去設計并創造實驗進行歸納總結，還要有較好的數學工具方能檢驗猜想的正確性。任何物理學的理論成果都必須有大量的事實與其相符合才能奉為真理。

參考文獻

[1]百度百科.思想實驗.https：//baike.baidu.com/item/思想實驗/388803fr=aladdin.

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[3]艾薩克·牛頓著.王克迪，譯.自然哲學的數學原理[M].西安：陜西人民出版社，2001.

[4]牛頓，賽耶.牛頓自然哲學著作選[M].上海：上海人民出版社，1974：8-9.