我對《三角形面積》教學的再思考

張瑜

《三角形面積》是在學生學習了平行四邊形面積計算，初步感受了轉化思想的基礎上進行的，它是平行四邊形面積計算的延伸，又是后面梯形面積計算的鋪墊，是具有承前啟后的作用。讓學生明白三角形面積計算公式不是最終目的，更為重要的是知道公式是怎么來的。所以本節課的價值定位不是“公式應用”，而是三角形面積的“公式推導”，重點是讓學生經歷一系列的數學活動，探索并理解三角形的面積計算公式，體會轉化方法的價值，培養學生應用已有知識解決新問題的能力，發展學生的空間觀念和初步的推理能力。

在教學平行四邊形面積公式推導的時候，只需要將平行四邊形沿高線剪下一部分，通過平移轉化成長方形，即可推導出平行四邊形的面積計算公式。這一層次的活動只是把圖形進行簡單的分割和組合，而不是有預見地去構造新的幾何圖形，大部分學生能主動完成這樣的建構活動。

在教學三角形面積計算公式的時候，教材是這樣的呈現：例4：利用方格圖素材，學生通過觀察對比，思考分析出三角形面積的求法，涂色的三角形面積就是它所在的平行四邊形面積的一半。進而得出這樣的結論：一個平行四邊形可以分成兩個完全一樣的三角形，其中一個三角形的面積是所在平行四邊形面積的一半。初步感知三角形面積與平行四邊形面積之間的關系。為后面用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形作了很好的鋪墊。例5：通過前面的學習學生積累到“轉化”經驗，初步認識平行四邊形能分成兩個完全一樣的三角形，那么兩個完全一樣的三角形也能拼成一個平行四邊形。通過操作——計算——觀察——歸納的過程，進一步明確三角形與其拼成的平行四邊形的關系，從而推導出三角形面積公式。在教材的最后，“你知道嗎？”環節中，介紹了中國古代《九章算術》的三角形面積解法，幫助學生理解另一種轉化求面積的方法——中位線分割法，進一步拓展學生的思路。

照這個思路上課的話，我們會感覺很“順”，但是在順的背后是老師設計的一個個鋪墊讓學生失去了主動探究的機會，如果沒有例4的鋪墊當學生面對一個獨立的三角形時，能想到再去構造一個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形嗎？顯然學生的這個思維活動是被動的，受牽引的。用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形，進而利用平行四邊形面積推導出三角形面積。在這里我們把它簡稱為“倍拼”思路，“倍拼”思路其實是一種圖形構造能力，它不是一蹴而就的，也不會單純隨年齡增長而進步的，這與學生的活動經驗是分不開的。當學生面對一個三角形時，并不能主動想到要構造兩個完全一樣的三角形來拼成平行四邊形。這里學生的“倍拼”思路是在老師的授意下、教具學具的暗示下被動形成的。那么怎樣才能讓學生主動完成這樣的“倍拼”呢？我進行了以下的嘗試：

沒有任何鋪墊，直接利用方格紙素材，給學生呈現3個獨立的三角形，分別是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。

師：這里的方格紙上有3個三角形，你會求哪個三角形的面積？

（大部分學生在嘗試的基礎上選擇求2號三角形也就是直角三角形的面積）

師：那我們就先來研究2號三角形的面積是如何計算的？

（受前一節課平行四邊形面積推導過程的影響，學生容易想到把直角三角形進行分割組合成一個新的長方形。）

師追問：怎樣分割才能拼成長方形？拼成的長方形和原來三角形之間有什么聯系？

強調必須要沿著三角形的中位線分割才能拼成長方形。拼成的長方形的面積就是三角形的面積，拼成的長方形的長是三角形的底，長方形的寬是三角形高的一半（如圖1），拼成的長方形的長是三角形的高，長方形的寬是三角形底的一半（如圖2）。

也有學生在這個直角三角形的“對面”畫一個和它一樣的三角形（如圖3），把它補成一個長方形，從而得出三角形的面積是長方形面積的一半。

最后總結出：直角三角形的面積=底×高÷2

師：那么1號和3號三角形的面積是否也可以用底×高÷2來計算呢？你們有辦法算出它們的面積嗎？請小組商量，合作完成。

（提供給學生學具袋，里面有完全相等的銳角三角形兩個，完全相等的鈍角三角形兩個，等底等高的三角形兩個，方格紙上呈現單獨的銳角三角形和鈍角三角形各一個。）

有了直角三角形這個特殊三角形為中介，學生能主動完成“倍拼”的構想，同時中位線割補法也可以被借鑒到銳角三角形和鈍角三角形中。

以上的教學過程把三角形面積的探索過程還給了學生，符合數學發現的歷史事實，其高明之處就是在于沒有限定學生的思維，沒有了條條框框，把“推導”這個包袱完全拋給了學生，這樣更能體現探究學習的真義。