在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效滲透分類討論思想

茹峰

摘 要：“分類”源于生活用于生活，分類思想是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，它應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)中。在解題中正確、合理、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆诸悾蓪⒁粋€復(fù)雜的問題大大的簡化，達(dá)到化繁就簡，化難為易，分而治之的目的。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);參透;分類討論;數(shù)學(xué)思想

分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)的研究對象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，正確應(yīng)用分類思想，是完整解題的基礎(chǔ)。一般情況下，當(dāng)被研究的問題包含有多種可能的情況，導(dǎo)致我們不能將它們一概而論時，迫使我們將可能出現(xiàn)的所有情況來分類討論，得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，而后進(jìn)行綜合。

一、分類討論一般應(yīng)遵循的原則

1、同一性原則。分類應(yīng)按同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據(jù)。例如：有些同學(xué)把三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、不等邊三角形、等腰三角形。這個分類就不正確了，因?yàn)檫@個分類同時使用了按邊和按角兩個分類標(biāo)準(zhǔn)。

2、相稱性原則。分類應(yīng)當(dāng)相稱，即劃分后子項(xiàng)外延的總和，應(yīng)當(dāng)與母項(xiàng)的外延相等。

3、互斥性原則。分類后的每個子項(xiàng)應(yīng)當(dāng)互不相容，即做到各子項(xiàng)相互排斥，也就是分類后不能有一些事物既屬于這個子項(xiàng)，又屬于另一個子項(xiàng)。

4、層次性原則。分類有一次分類和多次分類之分。一次分類是對被討論對象只分類一次;多次分類是把分類后所得的子項(xiàng)作為母項(xiàng)，再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止。有些對象的分類情況比較復(fù)雜，這時常采用“二分法”來分類，就是按對象有無某性質(zhì)來進(jìn)行分類。按“二分法”作分類，就是把討論對象的外延一直分為兩個互相矛盾的概念，一直分到不必再分為止。

一般來說，教師在教學(xué)活動中可按以下三個步驟引導(dǎo)學(xué)生建立分類討論的思想，學(xué)會分類方法，揭示分類討論思想的本質(zhì)，自覺合理的運(yùn)用分類討論的思想解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題，形成能力。

二、有意識地分階段滲透分類討論思想

初中課本中很多定義、定理、公式本身是分類定義、分類概括的，教師在教學(xué)過程中要有意識地讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中逐漸的體會分類討論的思想。初一數(shù)學(xué)課本在引入負(fù)數(shù)后即對有理數(shù)進(jìn)行分類：將有理數(shù)分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)或?qū)⒂欣頂?shù)分為整數(shù)、分?jǐn)?shù)。讓學(xué)生辨別不同分類的依據(jù)，初步體會分類要不重復(fù)，不遺漏;標(biāo)準(zhǔn)不同則分類不同的基本原則。此時可提出問題“-a一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分a>0，a=0，a<0三種情況考慮。在學(xué)習(xí)絕對值的定義時，要有意識地啟發(fā)學(xué)生從有理數(shù)分類進(jìn)行認(rèn)知的遷移，幫助學(xué)生概括出a>0，a=0，a<0時，應(yīng)如何表示，并要求學(xué)生能做一些簡單的化簡題。例如去掉，中的絕對值符號，在解題的過程使學(xué)生體會分類討論的思想方法，學(xué)會初步應(yīng)用。這個讓學(xué)生探索推導(dǎo)有理數(shù)加法法則的過程，實(shí)際上就是應(yīng)用分類思想解決問題的一個完整的過程。

三、啟發(fā)誘導(dǎo)，適時揭示分類討論思想的本質(zhì)

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法，但初中學(xué)生常常分類討論的意識不強(qiáng)，不知道哪些問題需要分類及如何合理的分類。這就需要教師在教學(xué)中結(jié)合教材，舉一些符合大綱要求且學(xué)生能夠接受的，需要區(qū)分種種情況進(jìn)行討論的問題，啟發(fā)誘導(dǎo)，揭示分類討論思想的本質(zhì)。

例1? 方程kx2-2x+3=0有幾個實(shí)數(shù)根？

學(xué)生往往不注意k對方程性質(zhì)的影響，討論或講評中，使學(xué)生明確系數(shù)k決定方程的次數(shù)，從而分k=0，k≠0兩類討論。當(dāng)k≠0時，再分△>0，△=0，△<0三種情況進(jìn)行討論。

例2? ?二次函數(shù)y=a（x-1）2+m的圖像過哪幾個象限？

這道題勢必要考慮圖像的開口方向，又要考慮對稱軸和頂點(diǎn)的位置。要對字母a和m分類。怎么分，則應(yīng)由學(xué)生討論，互相補(bǔ)充，互相評價，逐步完善。

這兩道例題是初中數(shù)學(xué)的常見習(xí)題，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考此類問題，一方面滲透分類思想，一方面通過具體的實(shí)例使學(xué)生體會分類的實(shí)質(zhì)為：化繁為簡，將一個復(fù)雜的問題分為幾個簡單的問題，分而治之;其次，有時分類并不是一次就可完成，需逐級分類。在此階段的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體的例題，揭示分類討論的本質(zhì)為化繁為簡，由特殊到一般，分而治之。使學(xué)生進(jìn)一步加深對分類討論的理解。

四、創(chuàng)設(shè)情境，深化提高，使學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論思想

在教學(xué)中應(yīng)邊學(xué)習(xí)邊總結(jié)，使學(xué)生明確引起分類討論的原因，增強(qiáng)學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論的意識克服分類討論中的盲目性和隨意性，提高學(xué)生的綜合運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想解題的能力。在初中數(shù)學(xué)中，若涉及到以下幾個方面，往往需要進(jìn)行分類討論：

1、有些知識本身是分類定義和概括的。如絕對值的定義、一元二次方程根的判別式等

2、數(shù)和式的變形中需要附加條件

3、研究含有字母的方程、不等式解的特征和求解

4、涉及幾何圖形的形狀和位置的問題

5、開放性的數(shù)學(xué)問題

6、一般地，當(dāng)問題的條件特別少時，需要分類以補(bǔ)充條件的情況

例3? 解方程：∣X-2∣+∣X+3∣=5

分析：該題是含有絕對值的方程，怎樣去掉絕對值的符號化為一般的一元一次方程為解題的關(guān)鍵。由絕對值的定義，求出各絕對值的零點(diǎn)：2，-3，把數(shù)軸分成三段：x≥2，-3

五、分類后結(jié)論如何歸納

一般情況下，分類討論后都要對結(jié)論進(jìn)行歸納，這也是解決這一類問題必須的步驟。常見的有三種結(jié)論歸納方式：并列形式、并集形式、交集形式。我們把后兩種合稱為集合運(yùn)算形式。

（1）并列形式? 將分類討論的結(jié)果用并列復(fù)句的形式給出。

（2）并集形式? 對每類的結(jié)果求并集作為最后的結(jié)論。

（3）交集形式? 對每類的結(jié)果求交集作為最后的結(jié)論

總之，通過加強(qiáng)數(shù)學(xué)分類討論思想的訓(xùn)練，有利于提高學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性。根據(jù)初中學(xué)生的特點(diǎn)，教學(xué)中要遵照循序漸近、逐步深化的原則并采用靈活多變和有效的教學(xué)手段來實(shí)施分類討論方法的教學(xué)。

參考文獻(xiàn)

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[3]彭林、刁衛(wèi)東：中考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)與規(guī)律探折。《中小學(xué)數(shù)學(xué)》2001專刊