對(duì)勞斯判據(jù)的淺略分析

田秋來(lái) 高杰 張瑩 甄景濤

摘 要 勞斯于1877年提出了穩(wěn)定性判據(jù)，在用于判斷系統(tǒng)穩(wěn)性時(shí)，又稱(chēng)為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)，它能夠判定一個(gè)多項(xiàng)式方程中是否存在位于復(fù)平面右半部的正根，而且不必求解方程，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)特征方程D（s）=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0s0=0（an>0）各項(xiàng)系數(shù)特殊的列表計(jì)算處理，解決了對(duì)于高階系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷的問(wèn)題，極大簡(jiǎn)化了判穩(wěn)過(guò)程，它不僅能夠解決系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題，還能夠檢驗(yàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，即穩(wěn)定裕度，對(duì)自動(dòng)控制理論的發(fā)展起到了極大的推進(jìn)作用。在對(duì)勞斯判據(jù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用中，應(yīng)注意一些方法和技巧，明確其中的誤區(qū)，下面為大家詳細(xì)介紹。

關(guān)鍵詞 高階系統(tǒng);穩(wěn)定性;簡(jiǎn)化;誤區(qū)

1 勞斯表[1]（見(jiàn)參考文獻(xiàn)）

熟記并編制勞斯表是學(xué)好勞斯判據(jù)的第一步，但是大家會(huì)發(fā)現(xiàn)勞斯表看起來(lái)比較煩瑣，如果采用死記硬背的方式難免會(huì)產(chǎn)生疏漏并且容易遺忘，所以請(qǐng)記好以下口訣，這樣便能熟練的記住勞斯表。

勞斯表口訣

階數(shù)由高寫(xiě)到低，將其放在最外側(cè)。

不能跳階和漏寫(xiě)，最后一個(gè)是零階。

系數(shù)均在前兩行，順序排布是關(guān)鍵。

最高系數(shù)放一一，隔山打牛填首行。

次高系數(shù)放二一，以此類(lèi)推填次行。

三行以后要注意，上行首列做分母。

下左上右是一對(duì)，上左下右是一對(duì)。

兩對(duì)相減做分子，注意順序不能變。

【注解】一一：第一行第一列 二一：第二行第一列

隔山打牛：項(xiàng)的階數(shù)每隔一個(gè)寫(xiě)出一項(xiàng)的系數(shù)

2 勞斯判據(jù)的應(yīng)用

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表中第一列系數(shù)都大于零，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，而且第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)就是系統(tǒng)特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。在利用勞斯判據(jù)進(jìn)行對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷時(shí)，要做到“一觀察、二計(jì)算、三替換、四構(gòu)造”，這樣才能穩(wěn)快準(zhǔn)的得出結(jié)論。

“一觀察”

首先要觀察系統(tǒng)的特征方程是否缺項(xiàng)、是否每項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)，當(dāng)缺項(xiàng)時(shí)，這樣的系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，當(dāng)某項(xiàng)或者某幾項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，這樣的系統(tǒng)也一定不穩(wěn)定。通過(guò)這兩點(diǎn)即可快速判斷出系統(tǒng)的不穩(wěn)定性而不需要再列勞斯表。

例如：①D（s）=3s4+2s3+5s+3=0 ②D（s）=2s5+3s4-4s3+6s2-s+6=0

解析：①這個(gè)系統(tǒng)特征方程缺少s2，所以系統(tǒng)一定是不穩(wěn)定的。②這個(gè)系統(tǒng)特征方程-4s3、-s兩項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，所以系統(tǒng)也一定是不穩(wěn)定的。倘若再用勞斯判據(jù)去大費(fèi)周章的計(jì)算其是否穩(wěn)定便有些南轅北轍了。

“二計(jì)算”

熟記口訣，準(zhǔn)確的計(jì)算勞斯表，一直計(jì)算到第零階，通過(guò)觀察第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定并得出不穩(wěn)定根個(gè)數(shù)，但是在計(jì)算過(guò)程中又會(huì)遇到一些問(wèn)題，這就要用到下面的“三替換”、“四構(gòu)造”。

“三替換”

某行第一列元素為零而該行元素不全為零時(shí)，用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替第一列的零元素參與計(jì)算，表格計(jì)算完成后再令ε→0，注意：含有ε的那個(gè)數(shù)也要最后再代值，不能直接代值參與計(jì)算下一行元素

例：已知系統(tǒng)特征方程D（s）=s3-4s+3=0，判定這個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)右半s平面中的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。

解析：

列勞斯表：

由于勞斯表第一列系數(shù)（1、0、-∞、3）符號(hào)改變了兩次（注意：從1到0未產(chǎn)生符號(hào)的改變），所以系統(tǒng)有兩個(gè)根在右半s平面。

【誤區(qū)】在計(jì)算d1時(shí)，有些同學(xué)直接將ε→0代入求出c1→-∞，并將c1→-∞直接代入到下一行，得出d1=（-3∞）/（-∞），導(dǎo)致無(wú)法求出最后一行的數(shù)值，違背了表格計(jì)算完成后再代值的要求。

“四構(gòu)造”

某行元素全部為零時(shí)，利用上一行元素構(gòu)成輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)得到新的方程，用新的方程的系數(shù)代替該行的零元素繼續(xù)計(jì)算。注意：構(gòu)造輔助方程時(shí)，不要對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，用原始方程進(jìn)行求導(dǎo)。

例：已知系統(tǒng)特征方程D（s）=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0，判定這個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解析：

列勞斯表：

畫(huà)線部分出現(xiàn)全零行，通過(guò)構(gòu)造以下輔助方程，并求導(dǎo)得出新的方程，用新方程系數(shù)（10、0）替代全零行。

輔助方程：

F（s）=5s2+25=0

F′（s）=10s=0

由于勞斯表第一列系數(shù)沒(méi)有改變，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

【誤區(qū)】某些同學(xué)將以下輔助方程進(jìn)行了化簡(jiǎn)并求導(dǎo)，違背了利用原始輔助方程求導(dǎo)的原則，導(dǎo)致全零行變?yōu)?、0。

輔助方程：

F（s）=5s2+25=0

s2+5=0

F′（s）=2s=0

3 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于勞斯判據(jù)的學(xué)習(xí)，牢記口訣是基礎(chǔ)，運(yùn)用分為四個(gè)步驟（一觀察、二計(jì)算、三替換、四構(gòu)造），完成表格后再令ε→0，構(gòu)造輔助方程不能化簡(jiǎn)，認(rèn)真仔細(xì)定能靈活掌握。

參考文獻(xiàn)

[1] 盧京潮.自動(dòng)控制原理（第2版）[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009：78-79.