三角函數與向量交匯題的求解策略探究

穆妍

摘?要：就目前全國各地區的數學高考題目來看，題目的類型愈加多樣，出題的方式愈加靈活，一些非常具有時代氣息的題型被創造出來，如三角函數與向量的交匯題，這類題目形式新穎，背景鮮明，同時考查學生多個領域的知識點，也考查學生對知識的融會貫通能力。因此，本文就重點探討三角函數與向量交匯題的解題方式，總結一些比較簡練實用的經驗，以啟發學生的解題思路，幫助學生減少失誤。

關鍵詞：高中數學;三角函數;向量;交匯題

三角函數與向量都是高中數學中的重要知識模塊，這兩個模塊的知識相互交匯，相互滲透，能夠產生很多形式新穎，結構新奇的題目，這不僅要求學生有較牢固的基礎知識，還要求學生對各個領域的知識點具有較強的理解能力和融會貫通的能力。教師在教授這些領域的知識點時，除了將之視為教學重點內容之外，也應時刻關注高考動向，發現新題型，及時對之進行解析講授。筆者就三角函數與向量交匯題，結合近年來高考考題動向，對這類題的解題方式進行了總結歸納。

以下是具體的解題策略：

一、 ?三角函數與向量知識點分析

（一） 三角函數知識點分析

在學習三角函數的相關內容時，教師應當重點講述三角函數的基本性質，函數圖像的變換和角的變換等，三角恒等變形也不可忽略，學生需要不斷加強對這些基本內容的理解與運用能力。通觀往年的數學高考題，會發現關于三角函數的基本性質的考察，題型較小，以填空題較為常見，難度偏于中等。主要考查學生對三角函數的基本性質和概念的理解與靈活運用能力。下面例題1就是典型的填空題。為了更好幫助學生在考試過程中避免出現失誤，還需要幫助學生了解和掌握三角函數的命題規律以及每種題型的解題技巧，尋找最適合的解答方式。當試卷中出現了未知度數的角之后，首先要尋求的就是轉化方式，從已知條件中找到未知角與已知角之間的聯系，找到它們之間的條件關系或者數量關系，嘗試著將之轉化為已知的角度。若遇到的是三角函數的最值問題或者周期變化的問題，就要馬上聯想到周期恒等公式，將原來的式子轉變為三角函數的解析式，這樣有助于求解。三角函數的重要特點之一就是其變化形式的多樣性和復雜性，其圖像也是千變萬化的，極富有靈活性。教師在講解這類題目時，不僅需要一邊講解，還需大致畫出其圖像，利用數形結合的思想，化難為易，化復雜為簡單，化抽象為具體，啟發學生的思路，調動學生的探索數學知識的熱情，幫助學生更好地理解抽象的知識體系。

（二） 與向量相關的知識點分析

在做與向量相關的題目時，需注意將之與普通的數量相區分，向量也表示一種數量關系，但它卻兼有“大小”和“方向”，由三要素組成，分別是起點、方向和長度，缺一不可。向量的相關運算法則及運算性質，如三角形法則及其不等式，基本的交換律、結合律以及坐標運算等;向量的數乘運算公式、運算律、向量共線定理、平面向量的數量積等，學生應當將這些基本知識熟練掌握。對于一些基本的向量概念，如零向量的單位長度雖然為0，但它的方向是任意地，而且與任一向量平行;而平面向量又與代數、幾何、三角函數等板塊的知識點相通，厘清這些概念與定理的基本內容之后，就有助于學生搞清楚向量與代數、幾何、三角函數等之間的轉化關系，加深對各種知識的理解和貫通能力。

二、 三角函數與向量交匯題的解題策略分析

（一） 三角函數平移與向量平移的策略分析

平移是三角函數與平面向量都會遇到的問題，即使這兩個領域涉及的平移可能會各有不同，但是其實質則大同小異。這種類型的題目是將三角函數與向量的平移巧妙地結合在一起了，主要考查學生分析題目、尋找正確思路的綜合能力，有的也涉及方程的思想與轉化的思想。我們在解這類題時可以將之統一于同一個坐標系統中，通過觀察其前后變化的兩個圖像來找到解題的切入口。在分析解答這類題目時重點應當注意的有：一是圖像平移的方向;二是平移的距離。這兩點體現的就是圖像在平移過程中所對應的向量坐標。另外，結合向量的平移問題，也有考查函數解析式的情況，此時需要厘清平移前后的兩個等式之間的關系，如將函數y=f（ωx）按向量a=（h，k）進行平移，那么平移后的函數解析式為y=f[ω（x-h）]-k，有了這個公式，學生在求解這類題目時，可以很方便快捷地列出平移之后的公式。

就三角函數與向量平移的問題，我們主要關注的是圖像的平移方向與距離，以例題1為例，我們將探討其具體的解題策略。

例題1：將函數y=sin2x的圖像按向量a=（-π/6，-3）平移后，得到函數y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像，則φ和B的值依次為????。

根據題目的具體要求，我們可以找到兩種方式：一是根據已知向量a的坐標可以得到等式x=x′+π/6和y=y′+3，將之與題干所給出的已知條件結合即可得到φ和B的具體值;二是由向量的坐標得到圖像的兩個平移過程，由此可以確定平移后的函數解析方式，再經過對比可以做出選擇。

第一種解題方式：由平移向量知向量平移公式x=x′+π/6和y=y′+3，代入原解析式y=sin2x得到y′+3=sin2（x′+π/6）即得到y=sin（2x+π/3）-3，由此知道φ=π3，B=-3。

第二種解題方式：由向量a=（-π/6，-3），可以得到圖像平移的兩個過程，第一次平移，試講圖像向左平移π/6個單位;第二次平移是在第一次平移的基礎上向下平移3個單位，由此可得函數的圖像為y=sin2（x+π/6）-3，即y=sin（2x+π/3）-3，解答，得出φ=π3，B=-3。

像平移這類題目，在歷年高考真題中，非常容易出現填空題，此類題目切入口小，考查的知識點卻全面而深入，解答的關鍵也是學生特別容易出錯的地方，就是確定平移的方向與平移的多少。這類題目能夠綜合考查學生對知識點的理解能力和貫通能力。

（二） 三角函數與向量平行（共線）的解題策略分析

三角函數與向量平行（或者共線）的情況下，就需要從向量平行（或者共線）的條件入手。向量與三角函數是可以互相轉化的，這類題的解題思路就是將向量問題轉化為三角函數的問題，然后從三角函數的相關知識出發，試著對三角函數解析式進行化簡;或者也可以通過觀察坐標，結合三角函數的圖像變化與其性質進行分析求解。這類題目的轉化思想比較明顯，有利于考查學生對基礎知識的熟悉程度和運用能力，因此在高考中常有考查。以例題2為例，對這類題進行分析：

例題2：三個銳角A、B、C的和為π，向量p=（2-2sinA，cosA+sinA）與向量q=（cosA-sinA，1+sinA）是共線向量;請解答：（1）求角A;（2）求函數y=2sin2B+cos（C-3B）/2的最大值。

根據題目分析：根據向量共線的充要條件，我們可以建立一個三角函數等式，由題目可以求得A角的正弦值，從此再從角的范圍出發即可解決第1小題，其具體解答步驟如下：因為向量p與向量q是共線關系，所以（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（cosA-sinA），則sin2A=3/4，又因為A小于60度，所以sinA=3/2，那么A=π/3。而第2小題根據第1小題的結果及A、B、C三個角的關系，結合三角函數恒等變換公式將函數轉化為關于角B的表達式，再根據B的范圍即可以求得最值，其最大值為2。

總的來說，這種共線問題的三角函數與向量交匯題，主要就是從向量平行（或者共線）的充要條件和三角函數的恒等變化條件出發，再緊密結合三角函數的有界性，就能找到正確的解題方案。具體而言，解答這類題目有兩點最為關鍵，一是靈活利用向量共線的充要條件，將向量問題轉化為熟悉的三角函數問題，再進行解題。二是根據條件確定B角的范圍，因為在三角函數中角一般都充當自變量的角色，因此，確定角的取值范圍就是解答題目的重要環節了。

（三） 三角函數與向量的模的解題策略分析

三角函數與向量的模的綜合類題型，主要是利用向量的模的性質來解答（其性質是向量|a|2=a2），概括一下，可以歸納如下：根據已知條件做基礎的向量運算，再結合坐標系，尋求解答方式。以例題3為例進行分析。

例題3：已知向量a=（cosα，sinα），向量b=（cosβ，sinβ），向量|a-b|=2/55，求（1）求cos（α-β）的值;（2）若-π/2<β<0<α<π/2，且sinβ=-5/13，求sinα的值。

根據題意，首先可以運用向量的模的計算方式，結合數量積的坐標運算，我們可以很方便地解決第一個小題，得到最終結果是cos（α-β）=-3/5;對于第二小題，我們可以把α換一下形式，將之變為（α-β）+β，然后就再求sin（α-β）與cosβ就可以，最終得到sinα=33/65。

（四） 三角函數與向量垂直的解題策略分析

向量的垂直是一種特殊的向量積情況，此時向量a和b的內積為0，說明這兩個向量之間的夾角θ為90°。在三角函數的知識體系中，90°角也是一個特殊角，這便是溝通三角函數與向量這兩個不同知識體系的重要交匯點，學生可以多加關注此類夾角的特殊性，再根據其定義和基本性質，結合三角函數的性質和特點，可以巧妙進行解答。

以上便是三角函數與向量交匯題的常見題型，除此之外，也會有其他的情況，如斜三角形與向量的綜合、結合三角函數的有界性考查三角函數的最值與向量運算、結合向量的坐標運算考查其與三角不等式相關的問題等，但只要熟練掌握前面五種題型的解答技巧，緊密結合三角函數的圖像及其主要性質，對于解答這些比較少見的題型，也具有重要的啟發作用。涉及三角函數的最值運算問題時，應先根據向量的數量積的運算法則求出相應的函數基本關系式，然后利用三角函數的基本公式將所得出的代數式化為形如y=Asin（ωx+φ）+k，然后根據三角函數的有界性，解決問題。關于向量與三角不等式之間的問題，主要的解決方法是結合向量的坐標運算法則，先求出函數f（x）的三角函數關系式，再根據三角公式對函數f（x）的三角恒等關系，有時還可以結合三角函數的基本特性之一——單調性求出三角不等式的解集。

三、 結語

教師在教授三角函數知識點和解題技巧時，可以結合前面所講過的向量的知識，一方面，為學生建立一種知識相互貫通的體系和思維方式;另一方面，也可以通過回顧舊的知識啟發學生對新知識的思考，探索其內在的聯系，能夠有效幫助學生提高對新授知識的理解力，鞏固以往學過的知識，促進他們逐漸學會自己概括三角函數與向量交匯題的命題規律，總結其正確的解答技巧。

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