含初應力周期性局域共振Mindlin板的衰減域特性研究

劉心男，劉 妍，紀穎波

(北方工業大學 土木工程學院，北京 100144)

周期性結構具有獨特的衰減域特性，頻率位于衰減域范圍內的彈性波/聲波無法在周期性結構中傳播，從而使得周期性結構在振動控制、工程隔震和隔聲降噪等領域具有重要的潛在應用價值[1-2]。

由于周期性結構的組成材料之間材料參數差異較大，在其生產和使用期間，初應力廣泛存在[3-4]。早在1982年Anderson[5]在研究航空領域周期性網架結構動力特性時，便注意到外部靜力荷載產生的初應力對周期性網架特征頻率的影響，但當時周期性結構的衰減域特性尚未被發現，初應力對周期性結構動力特性的影響問題并未引起學者的重視。之后，隨著周期性結構研究和工程應用的發展，外部荷載作用下周期性結構衰減域特性問題受到越來越多的關注。Qian等[6]采用傳遞矩陣法研究了初應力下周期性壓電陶瓷/聚乙烯層狀結構中剪切波傳播問題，發現隨著外部壓力增加，剪切波波速逐漸減小。魏唯一等[7]對周期性壓電/壓磁層狀結構中剪切波衰減域特性進行了研究，理論計算結果表明存在一個外部荷載臨界值，當初應力小于臨界值時可忽略初應力對衰減域特性的影響。Feng等[8-9]對外部壓力作用下周期性鋼/樹脂桿件進行了試驗研究，指出外部壓力通過改變樹脂基體的泊松比進而改變了周期性鋼/樹脂桿件的衰減域特性。Liu等[10]將弱形式求積元法引入周期性結構衰減分析中，研究了初應力作用下周期性二組元地基板的衰減域特性。

根據產生機理的不同，衰減域可分為由材料和幾何周期性主導的布拉格散射型衰減域和由振子振動局域化主導的局域共振型衰減域[11]。現有的含初應力周期性結構研究中以布拉格散射型周期性結構為主，其衰減域的中心頻率對應波長與周期性單元尺寸相當，故衰減域頻率較高，主要應用于隔離高頻振動。局域共振型衰減域可實現“小尺寸控制大波長”，有望應用于隔離低頻振動。然而，初應力作用下周期性局域共振衰減域特性一直未能得到系統研究。本文將弱形式求積元法拓展至含初應力周期性局域共振Mindlin板衰減域特性研究中，系統分析初應力和幾何參數對衰減域的影響，并分析有限周期局域共振Mindlin板的動力響應。本研究可為含初應力的周期性局域共振板應用于低頻隔振提供理論基礎。

1 控制方程及計算方法

周期性局域共振板由散射體、包裹層和基體組成，如圖1所示。根據周期性結構理論，計算無限周期性結構衰減域時，可取任意周期性單元進行動力特性分析。

圖1 含初應力周期性局域共振Mindlin板及周期性單元示意圖Fig.1 Configuration of initially stressed periodic local resonant Mindlin plate and a typical unit cell

為應用弱形式求積元法，需先將周期性單元進行域分解。設板的橫向位移為w，沿y和x軸的轉角分別為ψx和ψy。任意子域e的應變能為

(1)

任意子域e的動能為

(2)

式中：ρ為材料密度。

任意子域e的外力勢能為

(3)

式中：f為剪力;Mx和My分別為沿y和x軸的彎矩。

(4)

式中：M為質量矩陣；K為剛度矩陣；K0為幾何剛度矩陣；d為節點位移矢量；F為節點荷載矢量。

設簡諧波的圓頻率為ω，波矢為k=(kx+iεx)ex+(ky+iεy)ey，其中，實部kx和ky分別為x和y方向上的相位因子，虛部εx和εy分別為x和y方向上的衰減系數。根據Bloch定理[13]，周期性邊界條件滿足

dr=e-εxaeikxadl,dt=e-εyaeikyadb

Fr=-e-εxaeikxaFl,Ft=-e-εyaeikyaFb

(5)

式中：位移和荷載矢量的下標l，b，r和t分別為周期性單元左邊界、底邊界、右邊界和頂邊界上的節點。

將式(5)代入式(4)得

(6)

對任意給定的波矢k，通過求解式(6)中矩陣特征值，可得相應的頻率ω。根據周期性結構理論，當波矢取值遍歷第一不可約布里淵區，即可獲得該周期性局域共振Mindlin板中彎曲波的頻散曲線。對任意給定的頻率ω，并將相位因子取值限定在第一不可約布里淵區內，通過式(6)可求得衰減系數。

2 計算方法有效性驗證

表1 初應力作用下四端簡支均質板的前四階特征頻率Tab.1 The first four natural frequencies of SSSS homogeneous plate subjected to isotropic initial stress

3 參數分析

周期性局域共振Mindlin板中散射體為鋼，包裹層為橡膠，基體為混凝土，材料參數見表2。取a=0.5 m，l=0.2 m，d=0.1 m，h=0.1 m，無初應力時周期性局域共振Mindlin板中彎曲波的頻散曲線見圖2。衰減域范圍為4.8～7.4 Hz，對于該衰減域范圍內的任意頻率，在頻散曲線上找不到與之相對應的波矢，這便是衰減域內的波無法在無限周期性結構中傳播的原因。實際工程中周期性結構均由有限周期性單元組成，衰減域范圍內的波將被有效地衰減。此外，衰減域范圍內存在一條平直的頻散曲線，后文將分析該平直帶的產生機理。

表2 材料參數Tab.2 Material properties

無初應力；圖3 不同初應力作用下的衰減域Fig.3 Attenuation zones for various initial stresses

頻率B1處，振動集中在散射體，基體沒有發生位移，此時包裹的作用類似連接振子的彈簧。頻率B2處，基體振幅最大，且與散射體振動反相。頻率R1和R2處，基體保持靜止，散射體繞其對稱軸作剛體轉動，該頻率僅取決于散射體和包裹層的剛度及幾何尺寸，而與波矢方向無關，故在頻散曲線中表現為平直帶。對于頻率B1，R1，R2和B2，相較于基體和散射體，初應力對包裹層剛度的影響更為顯著。隨壓/拉初應力增大，包裹層和周期性單元剛度降低/增加，從而導致了圖3中衰減域隨初應力的變化趨勢。

圖4 頻率B1，B2，R1和R2處的模態Fig.4 Mode shapes at the frequencies B1,B2,R1 and R2

不同初應力作用下的衰減系數見圖5。由于Fano干涉現象[15]，局域共振型衰減域的起始頻率處衰減系數最大，然后迅速減小，直至衰減域終止頻率處減小到0。此外，衰減系數隨壓初應力增大而減小，隨拉初應力增大而增大。這意味著壓初應力減弱了衰減域內波的衰減程度，與之相反，拉初應力增強了衰減域內波的衰減程度。

圖5 不同初應力作用下的衰減系數Fig.5 Attenuation coefficients for various initial stresses

討論幾何參數對衰減域的影響時，當某幾何參數改變時，保持其余幾何參數不變。不同周期性單元邊長下的衰減域，如圖6所示。隨周期性單元邊長的增大，衰減域寬度迅速減小。當周期性單元邊長足夠大，該低頻衰減域將會消失。此外，衰減域起始頻率不隨周期性單元邊長的改變而改變，這是因為該起始頻率僅取決于散射體和包裹層組成的“振子系統”的共振頻率(見圖4(a))，而不依賴于基體尺寸。不同包裹層厚度下的衰減域，如圖7所示。隨包裹層厚度的增加，衰減域向低頻移動。這是因為包裹層越厚，散射體和包裹層組成的“振子系統”和整體周期性單元的剛度越小，衰減域的起始和終止頻率越低。不同散射體邊長下的衰減域，如圖8所示。由于保持包裹層厚度不變，隨散射體邊長的增大，散射體和包裹層組成的“振子系統”的共振頻率降低，衰減域起始頻率降低。

(a)a=0.5 m;(b)a=0.6 m;(c)a=0.7 m;(d)a=0.8 m;(e)a=0.9 m圖6 不同周期性單元邊長下的衰減域Fig.6 Attenuation zones for various periodic constants a

(a)d=0.025 m;(b)d=0.05 m;(c)d=0.075 m;(d)d=0.1 m;(e)d=0.125 m圖7 不同包裹層厚度下的衰減域Fig.7 Attenuation zones for various thicknesses of the coating layer d

(a)l=0.125 m;(b)l=0.15 m;(c)l=0.175 m;(d)l=0.2 m;(e)l=0.225 m圖8 不同散射體邊長下的衰減域Fig.8 Attenuation zones for various side lengths of the inclusion l

4 動力響應分析

上述衰減域計算結果是假設周期性板在x和y方向上由無限周期性單元組成，而工程實際中周期性板為有限周期。本節考慮由x方向上5個周期性單元和y方向上無限周期性單元組成的有限周期性Mindlin板。y方向上取一個周期性單元，并施加周期性邊界條件，dt=db和Ft=-Fb。對x方向上的一端施加單位位移激勵，對另一端施加自由邊界條件，計算其位移響應。

為量化有限周期性板中振動衰減程度，定義位移響應函數為20lg(w0/wi)，其中，wi和wo分別為x方向上輸入端的位移激勵幅值和輸出端的位移響應幅值。負值的位移響應函數代表激勵被有限周期性板有效衰減。取a=0.5 m，l=0.2 m，d=0.1 m，h=0.1 m，有限周期性板位移響應函數，如圖9所示。由圖9可知，無限周期性板的衰減域與有限周期性板中激勵有效衰減頻率范圍吻合良好。此外，壓初應力使有效衰減頻率范圍向低頻移動，拉初應力使有效衰減頻率范圍向高頻移動，驗證了初應力對衰減域影響的分析結果。為進一步驗證初應力對衰減系數影響的分析結果，取激勵頻率偏離衰減域起始頻率0.1倍衰減域寬度，即f=fB1+0.1×(fB2-fB1)。有限周期性板中位移分布，如圖10所示。對于衰減域內的激勵，振動主要集中在前兩個周期性單元，并隨著振動在有限周期性板中沿x方向傳播，其幅值逐漸減小。此外，含拉初應力、無初應力、含壓初應力三種情況下激勵的衰減程度逐漸減小，與圖5中計算結果一致，驗證了初應力對衰減系數影響的分析結果。

圖9 位移響應函數Fig.9 Displacement response functions

圖10 有限周期性Mindlin板中位移分布Fig.10 Distribution of transverse deflection in finite-unit-cell periodic Mindlin plate

圖11 無初應力時6.4 Hz激勵作用下輸出端的響應Fig.11 Dynamic responses of the output end under excitation of f=6.4 Hz without initial stress

圖時6.4 Hz激勵作用下輸出端的響應Fig.12 Dynamic responses of the output end under excitation of

5 結 論

結合弱形式求積元法和周期性結構理論，本文提出了含初應力周期性局域共振Mindlin板衰減域及衰減系數計算方法，系統研究了初應力和幾何參數對衰減域特性的影響，并與有限周期性局域共振Mindlin板的動力響應進行了對比驗證。

研究結果表明，壓初應力作用下衰減域的頻率降低，衰減域內波的衰減程度降低；而拉初應力作用下衰減域的頻率升高，衰減域內波的衰減程度增強。周期性局域共振Mindlin板的衰減域起始頻率取決于散射體和包裹層組成的“振子系統”的共振頻率。故隨包裹層厚度和散射體尺寸的增大，衰減域起始頻率降低。