地震動頻譜特性及與隔震結構損傷相關性研究

杜永峰，王亞龍，李 虎，方登甲，時 晨

(1.蘭州理工大學 防震減災研究所，蘭州 730050；2.蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

Keywords:average frequency;modal frequency;spectral characteristics;damage index;frequency matching degree of Fourier spectral intensity；magnification factor of pseudo-resonance

地震動具有很大的隨機性，而且每條地震動記錄都有其獨特性，其中，地震動的頻譜特性就是其重要的特性之一，它反映了地震動各頻率成份對應的簡諧運動組成方式的不同，與結構的破壞方式及破壞程度直接相關。如1962年的墨西哥地震，在離震中距200～300 km的墨西哥市，記錄地震動峰值加速度僅為0.05g，卻造成了非常嚴重的震害[1]。

地震動頻譜特性按照定義方式可以分為基于反應譜定義的頻譜特性參數和基于地震動本身定義的頻譜特性參數[2-6]。目前，常以5%阻尼比加速度反應譜卓越頻率反映地震動頻譜特性。對于傅里葉幅值譜許多學者做了研究，雖能體現地震動時程中所有頻率特征，但還沒有從中提取能準確代表地震動頻率成份的穩定值[7-9]。Sucuoglu等[10]認為地震動峰值加速度與地震動速度峰值的比值(Peak Ground Velocity/Peak Ground Acceleration,PGA/PGV)可代表一定的頻譜特性。潘毅等[11]基于PGA/PGV值的變化分析了頻譜特性對基礎隔震結構響應的影響。Rathje等[12]定義了地震動的平均周期，并用306條強震記錄進行了驗證。沈紹建等[13]用加速度反應譜平均周期表征頻譜特性，分析了頻譜特性對結構非線性地震響應的影響。徐菁菁[14]將具有復雜頻譜特性的真實地震動簡化成激勵周期各異的簡諧激勵，分析了結構的損傷演化規律。

應當指出的是，目前關于地震動頻譜特性的描述尚不統一，不同描述得到的地震動頻譜特性與結構損傷的相關性不同，解決地震動頻譜特性與結構損傷的相關性問題，將有助于研究隔震結構在地震作用下的動力魯棒性問題。因此，本文根據筆者團隊在所做幅頻相關性規律研究的基礎上[15]，提出了一種體現地震動頻譜特性的Fourier譜強度頻率匹配度指標，綜合考慮該指標和結構振型影響提出了類共振放大系數，運用Perform-3D進行建模分析，探討了結構整體損傷指數與類共振放大系數的相關性。

1 Fourier譜強度頻率匹配度概念及公式

1.1 地震動平均頻率

參考Rathje等的研究對平均周期的定義方式，考慮地震動整體頻譜特征頻率參數，定義平均頻率為

(1)

式中：f*為地震動平均頻率；fi為0.25～20 Hz的離散頻率點；Ci為頻率點fi對應的離散傅里葉變換幅值。

1.2 Fourier譜強度頻率匹配度的概念

對任意一條地震動，其可以看作是無限多個離散頻率的傅里葉級數分量的疊加，且每個頻率對應不同的傅里葉幅值。對任意一個結構，其有一階、二階、三階等不同階的振型頻率。根據共振原理，當激勵頻率近似等于結構某一階固有頻率時，結構都將以更大的振幅做振動[16]。傅里葉幅值較大的一批頻率點的激勵值對結構動力響應起主導作用，且這些頻率點與結構固有頻率點越接近，對結構動力響應的放大作用越強，傅里葉幅值越大，相應的動力響應越大。據此，本文同時考慮了地震動傅里葉幅值、傅里葉頻率和結構各階振型頻率的貼近程度，提出了Fourier譜強度頻率匹配度的概念，其表達式為

(2)

1.3 Fourier譜強度頻率匹配度的典型表達式

本文考慮傅里葉幅值譜中最大的三個頻率點和介于0.25～20 Hz的頻率點定義了三大峰值頻率和平均頻率，地震動各頻率點和傅里葉幅值的取值如圖1所示。Fourier譜強度頻率匹配度的三種典型表達式分別為：

圖1 頻率和傅里葉幅值示意圖Fig.1 Schematic diagram of frequency and Fourier amplitude

(1)Fourier譜強度卓越頻率匹配度

(3)

式中：fp為地震動卓越頻率；Cp為fp對應的傅里葉幅值；C1,C2,C3為傅里葉譜中三個最大傅里葉幅值；Cmin為C1,C2,C3的最小值；f1,f2,f3分別為結構一階、二階、三階振型頻率；c=max{|fp-fj|}。

(2)Fourier譜強度三大峰值頻率匹配度

(4)

(3)Fourier譜強度平均頻率匹配度

(5)

式中；f*為地震動平均頻率；C*為f*對應的傅里葉幅值；Cmax為C1,C2,C3中的最大值；e=max{|f*-fj|}。

1.4 單頻率簡諧激勵

地震動頻率成分非常復雜，為了研究地震動各頻率組分對結構損傷的作用，根據徐菁菁的研究對單頻率簡諧激勵函數的定義，給出生成單頻率簡諧激勵的公式為

(6)

Y(t)=0.4A(t)sin(2πft)

(7)

式中：t為時間，間隔取0.01 s；Y(t)為簡諧激勵在t時刻的加速度值；f為生成簡諧激勵的頻率。

2 結構振型頻率影響系數概念及公式

2.1 基礎隔震結構損傷模型

本文采用累積損傷極限狀態法，采用Park等[17]提出的地震彈塑性變形與累計滯回耗能線性組合地震損傷模型，該模型能夠較好地反映結構在罕遇地震時的損傷情況。上部結構的地震損傷模型為

(8)

式中：δi max為第i層最大位移；δui為單調加載下第i層極限變形；Qyi為第i層屈服強度；ΣEi為第i層累計滯回耗能；β為非負常數，本文取0.2[18]。

對隔震層而言，該模型無法反映其壓剪相關性對隔震層損傷的影響及隔震支座拉壓特性差異及支座的受拉損傷，而此兩方面均為影響隔震層損傷必須考慮的。根據杜東升等[19]在Park-Ang損傷模型基礎上綜合彈塑性變形與累計滯回耗能，提出隔震層損傷模型為

(9)

2.2 結構振型頻率影響系數

結構有多階振型頻率，而且各階振型頻率對結構損傷時的影響也不相同。本文以結構損傷模型為基礎，考慮了結構各階振型頻率的影響，借鑒振型參與系數的定義[20]，提出了結構振型頻率影響系數的概念，其表達式為

(10)

式中：ηj為結構前j階振型頻率影響系數矩陣；Dj為前j階振型頻率對應的簡諧激勵作用時結構的損傷指數；a=max{D1,D2,…,Dj}。

3 類共振放大系數概念及公式

根據類共振的原理[21]，綜合考慮Fourier譜強度頻率匹配度和結構振型頻率影響系數兩者對結構損傷的影響，提出類共振放大系數的概念。卓越頻率類共振放大系數、三大峰值頻率類共振放大系數和平均頻率類共振放大系數的表達式分別如下：

(1)卓越頻率類共振放大系數

(11)

(2)三大峰值頻率類共振放大系數

(12)

(3)平均頻率類共振放大系數

(13)

4 有限元模型建立

4.1 地震動選取

地震動有幅值、頻譜和持時三個特性，為了分析頻譜特性與結構響應之間的關系，且在分析時避免地震動三要素中的幅值和持時對二者關系的影響，在選取地震動時，選取持時都在一定范圍內的地震動，加速度調幅至相同。地震動信息見表1。

表1 地震動信息Tab.1 The information of earthquake records

4.2 基礎隔震結構模型建立

利用Perform-3D建立一個6層鋼筋混凝土基礎隔震結構，其隔震層平面布置及梁柱配筋如圖2所示。結構總高度19.8 m，各層層高均為3.3 m。抗震設防烈度為8度，設計地震分組為第二組，Ⅱ類場地，建筑類別為乙類。混凝土強度等級為C30，縱筋為HRB400級，箍筋為HPB300級。板厚為150 mm，板面恒荷載為5 kN/m2(包括樓板自重)，活荷載為2 kN/m2。隔震支座采用LRB500，基礎隔震結構振型頻率見表2，隔震支座參數見表3和表4。

圖2 隔震層平面布置及梁柱配筋圖Fig.2 Plan layout of isolation layer and reinforcement details

混凝土本構考慮約束區和非約束區兩種，約束區混凝土本構采用Mander理論，非約束區混凝土本構采用《混凝土結構設計規范：GB 50010—2010》附錄C.2.4中單軸應力應變關系。鋼筋本構采用《混凝土結構設計規范：GB 50010—2010》附錄C.1.2中有屈服點鋼筋本構關系。

表2 基礎隔震結構振型頻率Tab.2 The modal frequency of based-isolated structure

表3 隔震支座尺寸參數Tab.3 The size parameters of the seismic isolator

表4 隔震支座性能參數Tab.4 The performance parameters of the seismic isolator

4.3 簡諧激勵生成

根據本文建立的基礎隔震結構前三階振型頻率的大小，首先用式(6)、式(7)生成三條單頻率簡諧激勵，計算結構在各階振型頻率時的損傷指數，然后用式(10)計算結構振型頻率影響系數。簡諧激勵時程如圖3所示。

圖3 單頻率簡諧激勵加速度時程Fig.3 Acceleration history curves of harmonic excitation of single frequency

5 結果與分析

5.1 振型頻率影響系數

將圖3中的三條單頻率簡諧激勵加速度時程分別作用到已建立的基礎隔震結構上，并通過式(10)計算前三階振型頻率影響系數，計算結果如圖4所示。

圖4 振型頻率影響系數Fig.4 Influence coefficient of modal frequency

從圖4可知，對于本文建立的基礎隔震結構，采用振型頻率影響系數的計算方法求得結構前三階振型頻率影響系數之比為1∶0.117∶0.025，第一階振型頻率影響占前三階的87.6%，第二階振型頻率影響占前三階的10.2%，第三階振型頻率影響占前三階的2.2%。各階振型頻率對結構的損傷都有影響，且第一階振型頻率對結構損傷影響最大。

5.2 基礎隔震結構損傷指數

基礎隔震結構損傷分為隔震層損傷和上部結構損傷兩部分，各構件的損傷同時考慮變形和耗能雙參數指標，利用式(8)、式(9)分別計算上部結構和隔震層的損傷指數。地震動平均頻率與損傷指數的關系如圖5所示。

從圖5可知，當地震動平均頻率越接近基礎隔震結構第一振型頻率時，隔震層和上部結構損傷指數就越大，對隔震層和上部結構造成的破壞也就越嚴重；當地震動平均頻率越遠離基礎隔震結構第一振型頻率時，隔震層和上部結構損傷指數就越小，對隔震層和上部結構造成的破壞也就越輕微。所以，地震動對結構的損傷與其平均頻率和結構振型頻率有關。比較圖5(a)和圖5(b)可知，隔震層損傷指數最大值為1.854，平均損傷指數為0.461，上部結構損傷指數最大值為1.408，平均損傷指數為0.166，隔震層損傷指數整體大于上部結構損傷指數，所以可以用隔震層的損傷表示基礎隔震結構的損傷。

圖5 基礎隔震結構損傷指數與地震動平均頻率的關系Fig.5 The relationship between damage index of base-isolated structure and f*

5.3 類共振放大系數與損傷指數相關性

根據相關性原理[22]，采用皮爾森相關性系數反映類共振放大系數與損傷指數間的相關關系，計算公式為

(14)

式中：r為相關系數；X為類共振放大系數；Y為與類共振放大系數對應的損傷指數；N為離散點的數量。

對于確定的基礎隔震結構，振型頻率影響系數即可確定，每一條地震動可以計算出一個損傷指數，每一條地震動與振型頻率影響系數可以分別計算出一個卓越頻率類共振放大系數、一個三大峰值頻率類共振放大系數和一個平均頻率類共振放大系數。類共振放大系數與損傷指數相關性如圖6所示。

圖6 類共振放大系數與損傷指數相關性Fig.6 The correlativity between damage index and magnification factor of pseudo-resonance

從圖6可知，隨著類共振放大系數的增大，基礎隔震結構損傷指數也逐漸增大，損傷指數最小值為0.040，此時結構處于基本完好狀態，最大值為1.854，此時結構處于倒塌狀態，所以類共振放大系數對結構損傷影響很大。在一定類共振放大系數區域內，損傷指數存在離散性，結構不僅會出現較大損傷，也會出現較小損傷，這是由地震動本身的復雜性造成的。

從圖6(a)可知，卓越頻率類共振放大系數與損傷指數相關系數為0.441，說明相關性很差，離散性較大，用卓越頻率不能代表地震動頻譜特性；從圖6(b)可知，三大峰值類共振頻率放大系數與損傷指數相關系數為0.649，說明相關性較好，離散性較小，用三大峰值頻率能夠代表地震動頻譜特性；從圖6(c)可知，平均頻率類共振放大系數與損傷指數相關系數為0.750，說明相關性很好，離散性很小，用平均頻率能較好地代表地震動頻譜特性。

6 結 論

通過對地震動頻譜特性及頻譜特性與隔震結構損傷相關性的研究，得到以下結論：

(1)結構振型頻率影響系數反映了各階振型頻率對結構損傷的影響程度，通過模型算例得到基礎隔震結構前三階振型頻率影響系數之比為1 ∶0.117 ∶0.025，第一階振型頻率對結構損傷的影響最大。

(2)Fourier譜強度頻率匹配度反映了地震動傅里葉各離散頻率和結構各階振型頻率的契合程度，Fourier譜強度頻率匹配度越大，即契合程度越高，說明結構發生類共振的概率越大，由于發生類共振而導致的隔震層損傷指數及上部結構損傷指數就越大，而且隔震層損傷指數整體大于上部結構損傷指數。

(3)類共振放大系數反映了地震動頻譜特性對結構造成損傷的程度，隨類共振放大系數的增加，結構損傷指數也增大，且卓越頻率、三大峰值頻率和平均頻率放大系數均有此相似規律。相比于卓越頻率類共振放大系數和三大峰值頻率類共振放大系數，平均頻率類共振放大系數與結構損傷指數相關性最好，用平均頻率能夠較好地描述地震動頻譜特性。