儀器艙結構的能量有限元中頻聲振環境預示

王懷志，于開平，張宗強，曾耀祥，王 旭

(1.哈爾濱工業大學，哈爾濱 150001；2.西安航天動力測控技術研究所，西安 710025；3.北京宇航系統工程研究所，北京 100076)

火箭等飛行器在工作段要受到高頻、高聲壓級的外界環境噪聲作用，這對儀器艙以及其內部有效載荷會產生很大影響，因此采用合適的方法對飛行器進行中高頻的振動環境預示是一項非常有意義的工作。目前對于中高頻的聲振環境預示，尤其是復雜結構的預示，采用最多的是統計能量分析方法(Statistical Energy Analysis,SEA)，但是該方法由于對響應進行了空間平均無法得到結構局部或者關注位置的響應預示結果，目前有一些研究來解決SEA方法的上述缺陷，能量有限元方法就是其中的一種。

EFEA(Energy Finite Element Analysis)最早衍生于功率流類方法[1]，Nefske等[2]最早運用波動理論建立了簡單梁結構的能量密度控制方程，Wohlever等[3-6]研究并得到了桿、梁、板以及膜的能量有限元控制方程，Cho等[7]提出了將能量有限元方法應用于包括板、膜、聲場的耦合振動系統的思路，Zhang等[8-9]對周期加筋板和圓柱殼問題進行了研究，解妙霞等[10]推導了圓柱殼的在彎曲振動下能量密度平衡方程，Yan[11]得到了復合材料層合板的能量有限元控制方程，Kong等[12]推導得出了能量有限元方法求解的上限頻率，Wang等[13]得到了板在考慮熱效應下的能量有限元方法。此外，EFEA方法也在商業軟件中得到一定的關注，如MSC公司的Nastran軟件集成了EFEA分析模塊，可通過修改bdf卡片進行一些簡單的聲振耦合分析[14-15]。

目前能量有限元方法在國內也得到了一些應用，如孫麗萍等[16]將某護衛艦的機座結構進行簡化然后采用能量有限元方法進行了相關的研究，徐福慧[17]采用能量有限元方法研究了齒輪箱結構的振動特性，林毅[18]將某導彈艙體結構簡化并進行了研究。

對于儀器艙的振動環境預示，目前一般采用SEA方法進行相關的聲振環境預示，如劉小平[19]對某飛行器駕駛儀艙采用SEA方法進行了預示，孫目等[20]采用SEA方法對某導彈儀器艙進行了振動環境預示并得到符合工程要求的實驗結果，曾耀祥等[21]采用SEA對某火箭儀器艙進行了分析并對結構的內損耗因子進行了修正。

總的來說，能量有限元在復雜結構中的應用還十分有限，尤其是對于航天領域的復雜結構如儀器艙結構的應用還尚未見到，本文針對某儀器艙結構，基于能量有限元方法，建立了其EFEA模型，并借助于NASTRAN的EFEA模塊，對該復雜結構的動力學環境預示，并得到了符合預期的預示結果。

1 板的能量有限元理論

對于一般的薄板結構，其動力學方程可以表述為

(1)

(2)

對于板來說，其彎矩和剪力可以表述為

(3)

對于式(1)來說，其通解可以寫為

wff=(A1e-jKxx+B1ejKxx)×
(A2e-jKyy+ByejKyy)ejωt

(4)

系統的動能和勢能以及動能密度分別為

(5)

(6)

e=T+V

(7)

兩個方向的功率流可以表述為

(8)

(9)

首先對能量密度以及功率流做單位周期內時間上的平均得到平均后的能量密度〈e〉和平均后的功率流〈q〉，然后分別對〈e〉和〈q〉在單位波長內進行平均，根據由以上公式，可以得到系統的動能密度和功率流的表達式為

(10)

(11)

(12)

在穩態下，單元體的能量流平衡方程[22]為

(13)

(14)

根據Galerkin加權余量方法，可以得到能量有限元方法的方程

[Ke]{ee}+{Qe}={Fe}

(15)

假設權函數為Ni(i=1,…,m)，則

(16)

(17)

而{Qe}則代表了從單元邊界上流出的能量，根據邊界上的功率流平衡[23]，可以得到

{Qe}=[JCe]{ee}

(18)

式中：[JCe]的表達式為[24]

(19)

2 儀器倉的EFEA建模

EFEA同時兼具有限元以及SEA的一些特性，在建模步驟上，EFEA需要先對結構進行有限元網格的劃分，建立耦合連接等，而結構材料屬性和參數則與SEA對材料參數的定義保持一致。據此，能量有限元的建模分析的基本流程，如圖1所示。

圖1 EFEA分析流程圖Fig.1 EFEA analysis flow chart

2.1 結構及能量流動關系

本文中分析對象為某飛行器的儀器艙，其結構如圖2所示。該儀器艙由艙段和六個氣瓶組成，氣瓶通過支架連接在加強框上，加強框與艙段直接連接，蒙皮結構為加筋板，蒙皮上有兩個艙門結構，其中相對較大的為蜂窩板結構，另外一個為化銑的鋁合金口蓋，氣瓶部分為復合材料層合板結構。

圖2 儀器艙幾何模型Fig.2 The geometric model of the instrument cabin

對整個結構進行能量傳遞的分析，可以得到各個子系統之間的能量傳遞關系，如圖3所示。

圖3 子系統間的能量流動示意圖Fig.3 The schematic diagram of the energy flow during subsystems

在上述傳輸路徑分析中，未標注子系統內部的能量損耗。

2.2 能量有限元模型

在實驗中，儀器艙由鑄鋁的支座支撐，并在上下口處用木蓋板封閉。將結構進行能量有限元建模，得到結構模型如圖4所示。

圖4 儀器艙有限元模型Fig.4 The finite element model of the instrument cabin

對結構的能量有限元建模需要注意的問題包括以下幾個方面：

(1)對于氣瓶的簡化，其簡化過程為，保留氣瓶的直徑特征，將氣瓶簡化為圓柱體，在質量等效的前提下，確定氣瓶的長度，簡化了兩端的半球狀部分，對于氣瓶支架，從結構上來說，氣瓶與支架之間等效與固接，因此將氣瓶支架直接與氣瓶采用固接的方式，據此建立的氣瓶模型如圖5所示。需要注意的是，這種簡化思路下，支架部位的耦合損耗因子需要較為精確的測量。

圖5 氣瓶結構的建模Fig.5 Modeling the cylinder structure

(2)聲腔與結構部分的耦合在模型層面上即為有限元模型節點的耦合，因此在劃分有限元網格的時候需要將結構的有限元網格和聲腔的網格在接觸面上劃分的完全一致(即節點位置重復但不相同)，這樣耦合連接生成程序會自動將結構和聲腔連接部分建立相應的耦合連接。

(3)加筋板以及加強框部分的建模與有限元中類似，即簡化為梁或殼單元。

(4)對于網格劃分，結構部分采用三角形單元單元網格，聲腔部分使用四面體單元單元網格。這種網格劃分方法主要是考慮到結構和聲腔系統之間耦合連接的生成需要對應位置節點一一對應。

(5)在結構中，艙段為加筋板結構，采用EFEA的加筋板屬性進行建模，口蓋為蜂窩板結構，采用蜂窩板等效理論，將口蓋簡化為正交各向異性板，賦予正交各向異性的屬性。

(6)氣瓶部分為復合材料層合板結構，采用NASTRAN的EFEA模塊的復合材料卡片賦予結構復合材料層合板屬性。

蒼頡作書，史皇作圖，容成作歷，大撓作甲子，羲和作占日，恒羲作占月，后益作占歲，隸首作數，燧人氏鉆木出火，黃帝作火食，神農作耒，古者垂作耒耜，黃帝作冕，神農作琴，蚩尤作兵……[注]孫馮翼：《世本八種》，北京：中華書局，2008年，第3頁。

在建完有限元模型以后，為了得到能直接使用NASTRAN的EFEA模塊進行分析的模型，還需要對上述有限元模型生成的bdf文件進行修改，具體修改的部分包括：

(1)用SUBCASE添加工況ID；

(2)利用PWAVE命令添加外部的擴散場，來模擬混響場激勵；

(3)通過FREQ命令添加分析頻帶；

(4)用MPALTE添加各向同性材料，MAT12添加正交各向異性材料等，用PLATE賦予結構對應的材料屬性；

(5)用PACOUS定義聲腔的屬性；

(6)用DTABLE定義與頻帶相關的表，與材料參數隨頻率變化關系一致；

具體參數的定義可以參考NASTRAN對應的EFEA模塊的幫助手冊。

2.3 統計能量模型

將建立的有限元模型導入VA One軟件中，并綜合考慮結構的能量傳輸路徑(見圖3)，建立統計能量模型如圖6所示。

圖6 儀器艙的SEA模型Fig.6 The SEA model of the instrument cabin

在模型中，外部艙段、儀器艙蓋、上下蓋板等子系統與半無限大聲場連接，以模擬儀器艙與外部聲場之間的能量輻射，混響場激勵采用VA one中的散射場進行建模。

該模型由EFEA模型劃分的有限元網格導入，其材料、載荷和內損耗因子設置與EFEA完全一致。

3 響應預示結果

在EFEA與SEA中，一個重要的參數就是結構(子系統)的阻尼損耗因子，該參數可以通過實驗的方式測得，在本模型中，結構的內損耗因子設置參考了曾耀祥研究中的公式。

耦合損耗因子等參數分別由VA One和EFEA程序進行自動求出，VA One和EFEA程序在進行計算耦合損耗因子采用的算法是相同的，因此可以保證耦合損耗因子的一致性。

實驗時，結構置于混響場內，其聲壓級的頻帶分布如圖7所示。

圖7 結構所受到的外部激勵的聲壓級Fig.7 The sound pressure level of the external excitation acting on the structure

將建立的能量有限元模型，利用NASTRAN的EFEA模塊進行分析，可以得到結構的能量密度分布以及聲腔的聲壓級分布。

取采用EFEA預示的內部聲腔的聲壓級結果，與SEA的預示結果以及實驗測試結果進行比較，得到圖8所示的結果。其中EFEA取與測點對應的位置的聲壓級，而SEA只能得到整個聲腔的平均聲壓級響應。

圖8 實驗與EFEA，SEA聲腔聲壓級對比Fig.8 Comparison during EFEA SEA and experimental data of the acoustic duck’s sound pressure level

通過圖8的比較可知，基于完全相同的模型，EFEA和SEA的結果整體上較為接近。而與實測結果對比，在63～2 000 Hz的頻域內，EFEA的結果相比更接近于實測結果。在較低頻率時，兩種方法都產生了一定的誤差，這是由于在低頻時結構的模態密度很低，能量類方法在公式里引入了對空間和頻率的統計平均會引入較大誤差，本文的結果也進一步證實了兩種方法不太適合作為低頻的預示方法。其中，能量有限元方法在高頻也產生了一定的誤差，這從實驗角度驗證了能量有限元方法在較高頻帶內應用的局限性。

在SEA中有一種根據帶寬內的模態數N對中頻域進行的定義[25]，即若系統的模態密度為n(f)，系統在帶寬Δf內的模態數N(N=n(f)·Δf),則，當N≤1時，系統為低頻域；當N≥5時，系統為高頻域；當1

對結構部分的預示結果進行處理，可以得到關注部位氣瓶的加速度響應的均方根值，如表1所示。

表1 氣瓶的加速度均方根值Tab.1 The acceleration’s RMS of the gas cylinder g

實驗測試結果與EFEA方法以及SEA方法的結果對比，如圖9所示。

圖9 氣瓶加速度均方根值對比Fig.9 The acceleration’s RMS of the gas cylinder

從理論上來說，SEA方法計算耗時取決于子系統的個數與計算的頻帶個數，而EFEA計算的時間消耗則與結構的節點數目相關，表2給出了對于三種尺度模型的兩種方法計算耗時的比較。

表 2 兩種方法計算耗時比較Tab.2 Comparison of the time cost between two methods

通過對兩種方法計算耗時的比較可知，在本文中，如果不考慮軟件的響應時間以及計算設備硬件的影響，SEA方法計算耗時取決于子系統的個數，而EFEA則與結構的節點數目關系很大，且隨著結構節點數目的增加以及結構復雜性的增加，計算時間增加很大。

在響應結果比較中，SEA方法得到的是氣瓶子系統的整體平均響應信息，而EFEA方法可以得到響應的空間分布，這里取了實測點最接近節點的響應結果。通過圖9的比較可知，在結構加速度的預示上，EFEA的計算結果與實測值的誤差基本保持在10%以內，相對于SEA的結果，除了個別位置，能量有限元方法預示的結果更接近于實測值，且考慮到EFEA可以得到結構的能量密度以及均方根速度分布，因此可以更好的對實際工程結構進行振動環境的預示工作。

圖10給出了響應的云圖分布，在實際處理時生成云圖需要借助PATRAN的后處理模塊。

圖10 均方根速度分布云圖(去掉頂蓋)Fig.10 The distribution of the structural velocity’s RMS

4 結 論

建立了某儀器艙結構的能量有限元模型，并采用NASTRAN的EFEA模塊對其進行了振動環境的預示，建立了相應的SEA模型，并將EFEA，SEA方法的預示結果與實驗測試結果進行了比較。結果表明，能量有限元方法在一定的頻段內可以對結構較好的預示，而且在該頻段內，EFEA方法的結果相對SEA方法更接近于實測值，驗證了EFEA方法存在預示的頻率上限，同時相比SEA方法，EFEA可以得到預示結果的空間分布。此外，本文給出了基于NASTRAN中EFEA模塊進行能量有限元建模的方法，并將EFEA方法運用到較為復雜的實際工程結構，這可以為后續該方法在航天工程中實際應用提供一定的借鑒意義。