顆粒材料中聲波的超傳遞現(xiàn)象

崔建國(guó)，楊天智,2，陳立群,3

(1.上海大學(xué) 上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海 200072；2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；3.上海大學(xué) 理學(xué)院，上海 200444)

電子二極管的出現(xiàn)揭開(kāi)了電器時(shí)代的序幕。如今，電子二極管已經(jīng)成為我們生活中不可或缺的一部分。受其啟發(fā)，對(duì)其它載體的單向操控研究開(kāi)始受到重視。光二極管和熱二極管的研究應(yīng)運(yùn)而生[1-4]。聲波在自然界和生活中是非常常見(jiàn)的能量載體。因而，研究聲波的單向操控將具有重要的意義和價(jià)值。例如，利用聲單向傳遞的特點(diǎn)可以減少兩個(gè)方向聲波之間的干擾，實(shí)現(xiàn)更清晰的聲波信號(hào)。這種整流效果，對(duì)提高聲波的無(wú)損探測(cè)，醫(yī)學(xué)高精度成像等具有很大的應(yīng)用前景[5]。

在線性聲學(xué)領(lǐng)域中，聲波在同一介質(zhì)中的傳遞具有互易性，即聲波在兩個(gè)相反方向傳播具有相同的傳播特征。因此，如果設(shè)計(jì)一個(gè)具備聲單向傳遞特點(diǎn)的系統(tǒng)，該系統(tǒng)必然是不對(duì)稱的。為實(shí)現(xiàn)聲波的單向傳遞，研究者們進(jìn)行了很多的設(shè)計(jì)研究[6-10]。南京大學(xué)程建春課題組將聲子晶體與非線性聲學(xué)媒介組合，設(shè)計(jì)了具備聲波單向傳遞特征的系統(tǒng)。Narisetti等[11]利用攝動(dòng)法預(yù)測(cè)了一維非線性周期結(jié)構(gòu)中波的傳遞特性。此外，Boechler等[12-16]對(duì)聲波在顆粒周期結(jié)構(gòu)的傳播進(jìn)行了大量的研究。Geniet等[17]研究了非線性鏈中能量的傳遞，并發(fā)現(xiàn)在能量-聲波幅值圖中隨著幅值的增大能量發(fā)生了突變的現(xiàn)象，他們將其命名為非線性超傳遞現(xiàn)象(Nonlinear Supratransmission)。之后，研究者又對(duì)這種現(xiàn)象進(jìn)行了進(jìn)一步地研究[18-21]。通過(guò)對(duì)非線性超傳遞現(xiàn)象的研究，我們意識(shí)到可以配置系統(tǒng)左右兩端不同的激勵(lì)幅值來(lái)實(shí)現(xiàn)聲波的單向傳遞現(xiàn)象。

本文將球顆粒鏈作為研究載體，對(duì)非線性超傳遞現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并發(fā)現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象。發(fā)現(xiàn)了不同的條件下存在不同的動(dòng)力學(xué)特性。實(shí)現(xiàn)了顆粒材料中響應(yīng)可調(diào)控單向傳遞。

1 模型與運(yùn)動(dòng)方程

為研究振動(dòng)幅值對(duì)聲波單向傳遞的影響，我們建立了一個(gè)一維的球顆粒鏈模型。其中，球顆粒間的接觸方式為Hertz接觸[22]，它是一種完全彈性接觸模式，能很好地描述實(shí)際接觸時(shí)的情形。模型圖如圖1所示。

圖1 球顆粒鏈模型圖Fig.1 Schematic of the granular chains

為方便描述，我們給每個(gè)小球進(jìn)行編號(hào)(見(jiàn)圖1)，球顆粒從左向右對(duì)應(yīng)的編號(hào)分別為1～N。對(duì)第i個(gè)球顆粒運(yùn)用哈密頓原理，我們可以得到一個(gè)二階微分方程為

(1)

式中：ηi為第i個(gè)球顆粒的形變量。當(dāng)ηi>0時(shí)，ηi-1=δ+ui-1-ui；當(dāng)ηi≤0時(shí)，ηi=0。另外，式(1)中i的取值范圍為2～N-1。ui為球顆粒偏離初始平衡位置的位移。考慮首尾球顆粒特殊的邊界條件，在起始端施加一個(gè)聲波激勵(lì)，在末端施加一個(gè)定常力F0。因而，首尾的方程分別為

(2)

式中：當(dāng)ηi>0時(shí)，η0=δact+Bcos(2πft)-u1；反之ηi=0。本文采用諧波激勵(lì)的方式模擬振動(dòng)形態(tài)，Bcos(2πft)為激勵(lì)項(xiàng)，B為激勵(lì)幅值，f為激勵(lì)頻率。在式(1)和式(2)中

(3)

式中：p和pact分別為球-球Hertz接觸和球-面Hertz接觸中的系數(shù)。文中E為球顆粒的彈性模量；R為半徑；υ為泊松比；m為質(zhì)量；δact和δ為球顆粒的初始形變，可以用式(4)中的Hertz接觸法則計(jì)算。

δ=(F0/p)2/3

(4)

2 數(shù)值計(jì)算

2.1 計(jì)算方法及參數(shù)選定

運(yùn)用Runge-Kutta法對(duì)顆粒鏈系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，并對(duì)顆粒鏈的非線性超傳遞現(xiàn)象進(jìn)行了研究。在數(shù)值模擬中我們選用鉛球作為模擬材料，因其固有頻率較低可以降低計(jì)算中的頻率大小，故而可以適當(dāng)增大步長(zhǎng)，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。鉛球的參數(shù)為，球顆粒數(shù)目N=50，彈性模量E=17×109Pa，泊松比υ=0.42，半徑R=0.02 m，密度ρ=11.34×103kg/m3。另外，定常力F0=8 N。則，球顆粒的初變形δ0=3.23×10-6m。

2.2 計(jì)算結(jié)果與分析

2.2.1 顆粒鏈超傳遞研究

圖2 顆粒鏈頻譜圖Fig.2 Frequency spectrum of granular chains

從圖2可知，頻率自然分割成三個(gè)區(qū)域，對(duì)比電學(xué)領(lǐng)域中超傳遞現(xiàn)象的研究[24]，我們將其定義為下禁帶(Lower Forbidden Band)，通帶(Pass Band)和上禁帶(Upper Forbidden Band)。簡(jiǎn)而言之，超傳遞的產(chǎn)生與激勵(lì)頻率有關(guān)，處于下禁帶和上禁帶的頻率發(fā)生超傳遞較為困難，處于通帶內(nèi)的頻率具有良好的超傳遞現(xiàn)象產(chǎn)生。

我們?cè)谶@三個(gè)不同區(qū)域內(nèi)分別選取了三個(gè)頻率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)對(duì)聲波在顆粒材料中的超傳遞現(xiàn)象做進(jìn)一步研究。首先，我們數(shù)值模擬計(jì)算出三個(gè)頻率下平均動(dòng)能(速度均方值)-激勵(lì)幅值-球顆粒編號(hào)的三維關(guān)系圖，如圖3(100 Hz)、圖4(990 Hz)和圖5(1 800 Hz)所示。

頻率處于下禁帶區(qū)域(見(jiàn)圖3)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，能量在周期鏈中呈周期分布的特點(diǎn)，并且每個(gè)球顆粒的響應(yīng)隨激勵(lì)幅值的變化沒(méi)有發(fā)生突變現(xiàn)象，即沒(méi)有發(fā)生非線性超傳遞現(xiàn)象。頻率處于通帶(見(jiàn)圖4)時(shí)，在小激勵(lì)幅值(小于0.04δ0)下系統(tǒng)能量在周期鏈中有周期分布的特點(diǎn)，但當(dāng)激勵(lì)幅值增大到一定值(0.05δ0)后，能量在顆粒鏈中近似均勻分布，并且系統(tǒng)能量發(fā)生突變，產(chǎn)生了超傳遞現(xiàn)象。對(duì)圖5進(jìn)行分析，我們可以發(fā)現(xiàn)頻率處于上禁帶時(shí)，在小激勵(lì)幅值(小于0.09δ0)下周期顆粒鏈兩端的能量較小，而隨著激勵(lì)幅值繼續(xù)增大，除起始端的球顆粒外，其余顆粒的能量響應(yīng)極小，能量在周期鏈中被耗散。

圖3 下禁帶(100 Hz)三維圖Fig.3 3D plot for the lower forbidden band (100 Hz)

圖4 通帶(990 Hz)三維圖Fig.4 3D plot for the pass band (990 Hz)

圖5 上禁帶(1 800 Hz)三維圖Fig.5 3D plot for the upper forbidden band (1 800 Hz)

我們選取三個(gè)不同頻率下球顆粒鏈?zhǔn)孜矁啥饲蝾w粒的響應(yīng)，將其放置在同一個(gè)坐標(biāo)系下，得到如圖6所示的能量-激勵(lì)幅值圖。從圖6可知，當(dāng)頻率處于下禁帶時(shí)，顆粒鏈?zhǔn)孜矁啥诵∏?編號(hào)1和50)的能量響應(yīng)基本一致，且沒(méi)有發(fā)生超傳遞現(xiàn)象；當(dāng)頻率處于通帶時(shí)，顆粒鏈?zhǔn)孜矁啥诵∏蚓谐瑐鬟f現(xiàn)象發(fā)生；當(dāng)頻率處于上禁帶時(shí)，顆粒鏈起始端能量響應(yīng)與下禁帶相似，但末端小球的能量響應(yīng)隨著激勵(lì)幅值的增大出現(xiàn)一個(gè)急劇下降的趨勢(shì)，能量在顆粒鏈中發(fā)生被耗散的現(xiàn)象，與超傳遞現(xiàn)象恰好相反。

圖6 不同頻率下的能量-激勵(lì)幅值圖Fig.6 Energy level as a function of the driving amplitude

2.2.2 聲波的非對(duì)稱傳遞

通過(guò)對(duì)周期顆粒鏈的研究，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)聲波頻率處于某些頻率范圍內(nèi)時(shí)，顆粒鏈系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生超傳遞現(xiàn)象。因其對(duì)聲波幅值的敏感性，我們又進(jìn)一步研究了聲波振動(dòng)在周期顆粒鏈中的非對(duì)稱傳遞，探討運(yùn)用改變聲波振動(dòng)幅值的方式，實(shí)現(xiàn)聲波的非對(duì)稱傳遞。我們知道頻率的改變會(huì)使聲波信號(hào)發(fā)生改變甚至丟失，因此通過(guò)改變幅值實(shí)現(xiàn)聲的非對(duì)稱傳遞能更好地使信號(hào)保真。

前述可知系統(tǒng)對(duì)三個(gè)不同頻帶內(nèi)激勵(lì)聲波的響應(yīng)表現(xiàn)出不同的動(dòng)力學(xué)行為。因而，我們分別選擇了三個(gè)激勵(lì)頻率(100 Hz，990 Hz和1 800 Hz)，對(duì)顆粒鏈進(jìn)行時(shí)域響應(yīng)分析。并且，分別選取0.05δ0(L)和0.02δ0(R)(幅值分別在超傳遞臨界幅值前后)作為正向激勵(lì)和反向激勵(lì)的幅值，得到三個(gè)不同的位移和速度響應(yīng)時(shí)域圖，如圖7、圖8和圖9所示。

圖7 下禁帶(100 Hz)時(shí)域圖Fig.7 The time response for the lower forbidden band (100 Hz)

圖8 通帶(990 Hz)時(shí)域圖Fig.8 The time response for the pass band (990 Hz)

圖9 上禁帶(1 800 Hz)時(shí)域圖Fig.9 The time response for the upper forbidden band (1 800 Hz)

圖7為激勵(lì)聲波頻率為100 Hz(下禁帶Lower Forbidden Band)時(shí)聲波激勵(lì)從左側(cè)傳遞至右側(cè)末端小球(L，編號(hào)50)和從右側(cè)傳遞至左側(cè)末端小球(R，編號(hào)1)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)圖。從圖7可知，在正向激勵(lì)幅值為反向激勵(lì)幅值2.5倍的情況下，小球(編號(hào)50和編號(hào)1)的位移響應(yīng)也處于同一倍數(shù)下，而速度響應(yīng)基本一致，因而沒(méi)有表現(xiàn)出不對(duì)稱傳遞的現(xiàn)象。圖8為激勵(lì)聲波頻率990 Hz(通帶Pass Band)時(shí)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。從圖8可知，正向傳遞的位移和速度響應(yīng)均遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于反向傳遞的響應(yīng)，產(chǎn)生了明顯的不對(duì)稱現(xiàn)象。圖9為激勵(lì)聲波頻率1 800 Hz(上禁帶Upper Forbidden Band)時(shí)的位移響應(yīng)和速度響應(yīng)。顯然，此時(shí)的正向傳遞和反向傳遞的位移和速度響應(yīng)基本一致，沒(méi)有表現(xiàn)出不對(duì)稱傳遞的現(xiàn)象。

另外，我們又分別對(duì)聲波在三個(gè)頻率下的非對(duì)稱傳遞現(xiàn)象，做能量響應(yīng)分析，如圖10所示。從圖10可知，忽略掉激勵(lì)幅值原有大小的差異，聲波頻率在100 Hz和1 800 Hz時(shí)正向傳遞和反向傳遞的能量響應(yīng)基本處于同一水平，而頻率在990 Hz時(shí)正向傳遞的能量經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后有一個(gè)突然增大的過(guò)程，系統(tǒng)表現(xiàn)出單向傳遞的特點(diǎn)。對(duì)比不同頻率下的能量響應(yīng)大小，易知聲波頻率在通帶(990 Hz)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于下禁帶(100 Hz)和上禁帶(1 800 Hz)時(shí)的響應(yīng)。這表明聲波在顆粒材料中傳播時(shí)，處于不同頻帶范圍內(nèi)的頻率表現(xiàn)出了截然不同的特征。進(jìn)一步地說(shuō)明了我們將頻率分為下禁帶，通帶和上禁帶的合理性。

圖10 不同頻率下的能量變化時(shí)域圖Fig.10 Energy response of the chain at different frequencies

3 結(jié) 論

本文運(yùn)用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)含50個(gè)球顆粒的周期鏈進(jìn)行了超傳遞方面的研究，并發(fā)現(xiàn)了一些有趣的現(xiàn)象。

(1)對(duì)顆粒鏈進(jìn)行頻譜分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)頻率自然分割成下禁帶，通帶和上禁帶三個(gè)部分。激勵(lì)聲波頻率在下禁帶時(shí)振動(dòng)能量在顆粒鏈中呈現(xiàn)周期分布的特點(diǎn)；激勵(lì)聲波頻率在上禁帶時(shí)振動(dòng)能量在顆粒鏈中被耗散；而激勵(lì)聲波頻率在通帶內(nèi)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)在顆粒鏈中表現(xiàn)出超傳遞現(xiàn)象的特點(diǎn)。

(2)我們研究了激勵(lì)聲波在不同頻帶范圍內(nèi)時(shí)，不同激勵(lì)幅值下，聲波在顆粒鏈中的傳遞特點(diǎn)，得到了三種不同的傳遞特征；并且頻率處于通帶范圍內(nèi)時(shí)，聲波在顆粒鏈中發(fā)生了單向傳遞的現(xiàn)象。