在高職高專數學教學中引入“實例教學”的思考

彭剛 劉廣平

【摘要】在高等數學教學中，一些數學概念、定義或公式從形式上說，比較抽象，但其內容都與實際應用有關.為了講清一些抽象的數學概念或公式，引入應用實例，深化教學改革，提高學生學習興趣和學習積極性，進一步提高教學質量和教學效果，本文列出了幾個重要數學概念和它的相應的實例，用于豐富教學內容.

【關鍵詞】高等數學;教學改革;教學方法;應用實例

一、引言

高等數學是其他學科的基礎，在社會科技日益發展的今天，數學更是展現出了其獨有的魅力所在.數學對培養學生的良好思維品質和創新精神具有重要作用，而傳統的教學模式卻限制了學生積極性和創造性的發揮，甚至影響到高質量人才的培養.因此，對高等數學教學改革已達成共識，如何進行教學改革，卻沒有一定的模式，但是，為了講清高數中的一些重要概念引入實例教學法，將抽象的概念變為具體的形象的概念，愈來愈受到學生的歡迎，對提高學生的學習興趣和教學效果大有裨益.

二、二個數學概念的相關實例及其應用

（一）函數y=f（x）在x0處連續與間斷的實例

函數y=f（x）在x0處連續與間斷是一對相互否定的概念，因此，可以放在一起來講，這對概念也是比較抽象的，在教材安排上也沒有舉實例.作者在很長一段時間也苦于找不到一個很好的實例.正好，我國于2007年10月20日18：05發射“嫦娥一號”探月衛星，當火箭發射時，燃料燃燒釋放大量的熱量，為了吸收這些熱量，發射架下建了一個400 m3的水池.當火箭發射瞬間，水池里的水全部變為水蒸氣.基于這個實例，將其概括成函數模型.設水池容積為V，向水池中注水的水管流速為V0，注滿水的時間為t0，火箭發射的時刻為t1，則V關于時間t的函數為：V（t）=v0t，0≤t≤t0，400，t0≤t≤t1. 如圖所示：

由此實例可知，向水池中連續注入水時，水池中水的變化是連續變化的，當水池注滿水到火箭發射時，水池中的水是一個不變的體積（常量），也是連續的，當火箭發射時，水池中的水由400 m3變為0.由此可知，v（t）在t=t0處是連續的，在t=t1處是不連續的.

再分析：t=t0，v（t）→v（t1）=400，即 limt→t0v（t）=v（t0），

t→t-1，v（t）→v（t0）=400，但t→t+1，v（t）→0，

limt→t1v（t）不存在.

即得出 limx→x0f（x）=f（x0），f（x）在x0點連續，否則f（x）在x0點處不連續.

（二）基礎解析的實例

在城市中，交通堵塞成為阻礙城市發展的“瓶頸”和市民關注的焦點.下面的例子一方面，給出了交通堵塞的部分數學解釋，另一方面，也給出線性方程組基礎解析一個生動的刻畫.圖中是某一地區的公交網絡圖，所有的道路都是單行道，且道上不能停車，通過的方向用箭頭表示，標示的數字為高峰期每小時進出網絡的車輛數，試從交通流量平衡條件建立線性方程組，并對解做出符合實際意義的解釋.

如圖所示：

根據每個“十字”路口節點處“入=出”的準則，得出下旬四個“十字”路口節點的方程;

（1）x4+550=650+x1;

（2）x1+550=400+x2;

（3）x2+500=350+x3;

（4）x3+450=600+x4.

上述方程組的通解為：x1x2x3x4=50200350200+k1111，k為正數.

本來上述方程組有四個未知數，有四個方程，但是R（A）=R（A）=3<4，從實際分析中得知，K為整數，有正負之分是與行車方向有關，基礎解系1111的實際意義是什么呢？如果k=0x1x2x3x4=50200350200 說明這800輛車在單形道上只行駛一次，當k≠0時，說明x1，x2，x3，x4路上在此基礎上增加了k輛車，而此公路交通網絡流入的車輛為（200+100+200+300），從公路網絡流出的車輛為300+300+200=800（輛），

k=0時，x1+x2+x3+x4=800輛，

k≠0時，x1+x2+x3+x4>800輛.

為什么呢？只能說明有些“無聊”的司機找不到目標和方向，在此公交網絡單行道中往復行駛.

高等數學從理論上說是比較抽象的，但它來源于實踐，而又能指導實踐，在講授高等數學時，應該因時、因地制宜，列舉一些實例，用一些具體實例得出一般的數學概念或者用一些具體事例解釋一些數學抽象概念.從而最終改變以往學生學數學枯燥無味的局面，全面進行數學改革，提高教學質量.

【參考文獻】

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