空中加油問題最低油耗量研究

孫欽瑤 李純良 武佳琪 劉璐

摘 要：本文研究了在達到救援目的并使所有啟程的飛機成功返回基地的前提下，如何能使總燃油量最少，以及在總燃油最少的情況下對應出動的加油機數量。首先，本文通過線性規劃，建立了最低耗油量的初步模型。其中，求得總燃油D最少的情況為，離開基地時出動3架加油機為運輸機加油，回基地時出動1架。其次，本文對初步模型進行了優化，考慮了不同時加油的情況，得到總耗油量比初步模型總耗油量少約198kg，使模型更加實用。

關鍵詞：空中加油;多元不等式組;運動狀態相對靜止

引言

在距基地615海里的小島上發生災害，急需藥品并有一人重傷繼續轉移治療。基地現只有最大航程為680海里的飛機，飛機最大油耗量為155kg，但此類飛機可改裝成可以裝油170kg的空中加油機。

運輸機來回一共需要飛兩個615海里，然而最大航程僅為680海里，這樣在途中就需要加油機為運輸機提供燃油，加油機既可以在去的時候中為運輸機加油，也可以在回的時候為運輸機加油，不同的情況需要出動不同的加油機數量。但是無論出動多少架加油機，前提都是保證加油機與運輸機都能夠返回基地。

故假設運輸機從基地離開飛往小島的 海里內由于出現故障，導致不能立即加油，引入時間變量 ，但此時加油機和運輸機一起飛行，沒有形成距離差，即保持相對靜止，在經過時間 ，求出距離與時間的關系式，飛行距離的不等式以及方程組，將所求出的結果制成表格，作圖，找到在優化模型下所對應的所有可行最優解維修人員便可成功修理好故障后，運輸機可成功抵達小島救助重傷人員，在返回基地的路途中加油，最后和加油機一起返回基地。

1救援模型

1.1 模型準備

1） 運用簡單換算，對于題目所給類型的飛機，假設改裝后的飛機最大航程為C，

由等式

計算得C≈745海里，即改裝飛機最大航程約為745海里。

2） 設K為飛行每海里需要的油，則由題目可得

1.2 救援過程簡述

在運輸機離開基地與回基地途中，去時與回時分別為A、B段，兩段各有一個加油點。運輸機自基地出發，在距基地? ?海里的加油點1處由N架加油機為運輸機加油，并加滿，加油機返航。運輸機在到了島上放下藥品并接上傷員后經B階段返回基地，返回途中至加油點2處油量耗盡并迅速接受M架加油機加油加至剛好可以返回基地的油量后，加油機與運輸機一起返航至基地[1]。

1.3 基地至加油點1段過程分析

運輸機與加油機同時由基地出發，到距基地 海里的加油點1處運輸機接受 架加油機的加油，設每架加油機為運輸機加了足夠運輸機飛行 海里的油后返程，假設這 架加油機返程落地時剛好用盡剩余所有油[2]。

對于每架加油機來說，所載的油在給了運輸機飛 海里的油后剩下的剛好夠自己飛回基地。對于運輸機來說，飛行 海里消耗的油在加油點1剛好被 架飛機補滿。

可得方程組：

1.4 加油點1至加油點2段過程分析

此段中運輸機完全用自己油箱中的油，共飛行680海里。運輸機飛至小島降落并放下藥品、載上病人出發，在起落不耗油的假設下飛至加油點2耗盡油[3]。

由題設可得加油點1到小島為615-x海里，因而加油點2與小島之間的距離為

所以加油點2與基地之間的距離為

1.5 加油點2至基地段過程分析

運輸機飛至加油點2時接受 架加油機的加油，加至剛好能飛回基地的油量后，運輸機與加油機一同返程。假設每架加油機為運輸機加能飛行 y2海里的油。

對于運輸機， m架加油機為運輸機加至能飛行550-x 海里的油;對于每架加油機，所載的油應能支持飛機飛行不少于 海里[4]。

假設每架加油機在起飛時都是載滿油出發，在返程后油箱內還存有能使飛機飛行y2+（550-x）×2海里的油，

1.6救援模型求解

對模型進行求解，分別求解當n=1，2，3，…，100 時在加油點2需要的加油機數量m ，最低耗油量D，

從n=3 開始至n=100 ，[m]的取值已經全部為1，而且變動非常小，minD 的變化程度也非常小。n=4 與n=3 時minD 的差已低于20kg，而且多出動1架飛機，在人力物力上產生更多的成本，因而最優解為n=3 ，[m]=1 ，即在加油點1有3架飛機同時為運輸機加油，加油點2有1架飛機為運輸機加油，總耗油為460.9158 公斤。

2 A救援模型

由于模型一求解中已經找到最優解為n=3 ，[m]=1 的情況，即在A段有3架加油機給運輸機加油， B段有1架加油機給運輸機加油。在模型一的基礎上，本文嘗試找到更加省油的方式[5-6]。

2.1? A段的優化

A 段由在同一加油點加油改為在三個點加油，每架加油機給運輸機的加油量仍為飛y1 海里需要的油量。

A 段過程：三架加油機與運輸機同時起飛，飛至x1 處，第一架加油機給運輸機加滿油，然后返航。即對第一架加油機來說，全程耗油量D1為，

其中k為飛行距離與耗油量的換算系數，模型一中已求出，y1 是106.42， x是319.29 。

加油過程結束后，另外兩架加油機與油箱裝滿油的運輸機繼續前行，飛至距基地2y1 處，第二架加油機給運輸機加油，此時運輸機又消耗了飛行y1 海里需要的油。第二架加油機給運輸機加滿后返航，即對第二架加油機來說，全程耗油量D2 為

第二次加油過程結束后，最后一架加油機與油箱裝滿油的運輸機繼續前行，飛至距基地3y1海里處，最后一架加油機給運輸機加油，將運輸機加滿油[7-8]。而且由模型一的思路，最后一架加油機在給運輸機加完油返程后落地時剛好用完所有油，

參考文獻 （References） ：

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