一次模擬聯考中的文理科導數綜合題命制過程

☉湖北省恩施州教育科學研究院 周 威

2019年3月湖北省七市州聯考在緊張的復習備考中結束，筆者恰好與十堰程老師、宜昌向老師擔任此次模擬考的命題任務，從湖北省教育學會2019年3月的質量分析會來看，頗為好評.現將此次聯考文理科中兩個導數壓軸題的命制過程進行簡單總結，與大家分享交流.

一、文科導數綜合題的主要命題過程

1.從理科高考題中尋找文科命題的靈感

一直以來，聯考或者模擬考的命題都是以高考為模板，改編策略的文章也比比皆是，事實上，高考題也確實是最好的原創命題素材.2018年全國理科數學卷Ⅱ的第21題導數綜合題也一直被許多專家拿來深入研究或改編，原題如下：

題目已知函數f（x）=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當x≥0時，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）內只有一個零點，求a.

這道題不是太難，但作為考查文科生一輪復習情況確實可以了，再加之現在文理合卷是必然，那么能不能從此理科題出發，命制一道此次聯考的文科導數綜合題呢？雖然改編較多，但是都保留了f（x）=ex-ax2本身不動.靈感一來，就繼續思考：如何對f（x）本身進行改編成為一個全新的函數？第一感覺就是若把參數a提前作為ex的系數構成一個新的函數，那么第一問就可以令a等于某個常數，改編成常規的求單調區間問題；第二問自然通過某個不等式成立時，探究參數a的范圍來考查學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算的核心素養.這種結構也恰好與上面的高考題保持一致.

2.從積分計算中確定函數表達式

首先，如何確定f（x），是不是就簡單地變為f（x）=aex-x2？但總感覺就是太“簡單”，讓人忘不了“原型”，于是構建了函數f（x）=aex-（x+1）2，但在第一問中求導之后，要確定f（x）=aex-（x+1）2的單調區間時，要二階求導，這與文科歷年高考有出入.那么如何解決這一個問題呢？最好的方法就是在求導之后能進行因式分解.要出現因式分解，就必須有（x+1）公因子，也就是aex部分要加入一個因式使得求導之后變為aex（x+1）的形式，那么其原函數是什么呢？于是通過不定積分axex+C，最終將函數修改為f（x）=axex-（x+1）2.表達式簡潔干凈，完全沒有了“原型”的影子.

3.從數形結合中確定設問

根據之前的設想，令a=1得到了第一問：若a=1，求函數f（x）的單調區間.那么如何通過某個不等式成立時，探究參數a的范圍呢？誠然，必須畫出此函數的圖像，為了方便快捷，通過幾何畫板動態演示a變化時圖像的形狀，如圖1所示：

圖1

圖中A點的橫坐標表示a的值，通過移動A點時的細心觀察，在a為正數變化時，總在x≥1部分，有f（x）≥-2恒成立！到這里，不免讓人有點激動，因為第二問就可以設為：若x≥1時f（x）≥-2恒成立，求a的取值范圍.那么計算的角度能不能做出來答案呢？如是筆者著手計算，結果如預設一樣，恰好可以！但考慮到高考中主要是以f（x）≥0恒成立為主，所以對原函數作了向上移動兩個單位的修改，如是題目最終呈現為：

文科成題已知函數f（x）=axex-x2-2x+1（其中a∈R，e為自然對數的底數）.

（1）若a=1，求函數f（x）的單調區間；

（2）若x≥1時，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍.

4.從“一題多解”中驗證結果

第一問的解答，自然是考查學生基礎知識，基本運算，基本方法，直接求導，根據固定步驟求出f′（x）的零點（解答略）.第二問主要考查學生的分類討論，具體解答為：

解法1：（2）由已知得f′（x）=aex（x+1）-2（x+1）=（x+1）（aex-2）=0，其中x≥1.

①當a≤0時，由于x≥1，得f′（x）=（x+1）（aex-2）＜0，故f（x）在［1，+∞）上為減函數，顯然不成立.

那么，此題是否陷入單一解法的思維定式呢，對于平時復習中經常用到的“分離變量”是否可以呢？簡答如下：

解法2：x≥1時，f（x）=axex-x2-2x+1≥0恒成立，即對x≥1恒成立，令，則h′（x），所以

對h（x）求導看似復雜，實則計算完畢的時候恰好分子中不含ex，給計算帶來了方便.

5.從“變式”中強化考點

第二問的設問，只是我們考查學生知識、技能、思想與方法的諸多形式中的一種，事實上，我們還可以根據平時高頻考點，進行如下設問，達到觸類旁通的效果：

變式1：若函數f（x）在（0，+∞）內只有一個零點，求a的取值范圍.

變式2：若方程f（x）=-1有解，求a的取值范圍.

變式3：對任意的x1，x2∈（0，2），總有|f（x1）-f（x2）|≤ae，求a的取值范圍.

二、理科導數綜合題的主要命題過程

1.從改編中把握穩中求變的命題規律

理科函數零點問題從2017年以來就是熱點，函數考查形式采取“指+冪”或“對+冪”或“指+對”的形式，導數一般不難求，例如2018年全國卷Ⅰ理科21題中f（x）2015年山東卷理科21題中f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），2011年遼寧卷理科21題中f（x）=-ax2+（2-a）x+lnx等，都是類似lnx和二次式Ax2+Bx+C的組合，那么是否可以出現lnx和三次式Ax3+Bx2+Cx+D的組合呢？這種“變化”讓人很自然地想到.如是經過查找資料，驚喜地發現了與lnx的組合，就有了如下題目主干與第一問：

思考：y=f（x）+g（x）的零點個數與a的關系好不好計算呢？

2.體現“多考一點想，少考一點算”

為了設置第二問和解答上面的思考，如是借助了幾何畫板得到簡圖，如圖2、圖3、圖4所示：

圖2

圖3

圖4

當a=-0.38時，y=f（x）+g（x）才有圖2的情況，當a≥0時圖像不是很理想，當a＜0時圖像形狀與圖2差不多，只是位置不一樣，也不好繼續設問.但是，當分別畫出f（x），g（x）的圖像時，伴隨a＜0變化，會出現圖3和圖4的情況，如果只考慮函數min{f（x），g（x）}的圖像，那么函數min{f（x），g（x）}的零點會最多出現3個（圖4）的情況，如是得到整個理科21題：

理科成題已知函數f（x）=lnx，g（x）=x3+2（1-a）x2-8x+8a+7.

（1）當a=0時，求y=f（x）+g（x）的單調區間；

（2）當a＜0時，記函數h（x）=min{f（x），g（x）}，x＞0，若函數y=h（x）至少有三個零點，求實數a的取值范圍.

三、考試結果及反思

這兩個導數綜合題，都是在高考的影子中尋找出路，都是常規的求參數值或取值范圍、求函數的性質（單調區間、最值、極值、零點等）、求解或證明不等式、處理探究性問題等知識點，考查學生的函數思想、轉化與化歸思想、數形結合能力、綜合分析解決問題能力、運算推理能力等，預設難度是0.3至0.35.從筆者所在地區考試結果來看文科導數綜合題的難度系數為0.18，理科導數綜合題的難度系數為0.24，與其他地市交流時，這個難度系數值也差距不大.這就很好地達到了檢查第一輪復習效果的目的，暴露了一輪復習中對導數綜合應用的弱點，也為第二輪復習或專項復習提供了參考依據.

數學命題確實是一件讓人痛苦并快樂的事情，它沒有現成的套路，屬于創造性的智力活動，在命題過程中，除了本文中說到的幾點，也有很多文章關于這方面的真知灼見，總之，需要不斷嘗試、實驗、探索、合作.值得一提的是，整個命題過程中都不可避免地用到了幾何畫板，它為我們在平時的試題改編、疑難求解提供了一種較為簡便的途徑，這也從另一個角度說明了信息技術2.0時代，數學課堂與數學軟件的結合必然是大勢所趨.