例談利用切線解決不等式問題

☉湖北省通山縣第一中學 萬小勇

導數在不等式中的應用是高考的熱點，常見的命題角度有利用導數證明不等式和利用導數解決不等式恒成立中的參數的范圍問題.對于這些問題的解決，一般采用分類討論法或分離參數法.通過對大量相關試題的處理發現，有些題目處理起來比較煩瑣，那么有沒有其他的辦法解決這類問題呢？下面通過例題談談利用切線的方式解決這類問題.

題型1：利用切線證明不等式

例1已知f（x）=ex（x+1），g（x）=-x2+2x+1.證明：f（x）≥g（x）.

圖1

證明：顯然f（x），g（x）都過點（0，1），考慮f（x），g（x）在（0，1）處的切線，對f（x）求得切線方程為y=2x+1，對g（x）求得切線方程為y=2x+1，要證f（x）≥g（x），不妨證明f（x）≥2x+1≥g（x），先證明f（x）≥2x+1，記h（x）=ex（x+1）-2x-1，則h′（x）=ex（x+2）-2.

當x＞0時，ex＞1，x+2＞2，所以h′（x）＞0；

當x＜0時，ex（x+2）＜2ex＜2，所以h′（x）＜0.

所以h（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增.

所以h（x）≥h（0）=0，即ex（x+1）≥2x+1.

再證明2x+1≥g（x），令t（x）=（2x+1）-（-x2+2x+1）=x2≥0.

上式恒成立，所以ex（x+1）≥2x+1≥-x2+2x+1.所以f（x）≥g（x）.

題型2：利用不等式中的一次函數特征，直接考慮轉化為曲線在某點處的切線，解決不等式問題

例2設函數f（x）=ex-e-x，若?x∈［0，+∞），恒有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍.

圖2

分析：對于此題可以考慮構造函數g（x）=f（x）-ax，求g（x）min≥0，顯然需要分類討論，當然也可以通過分離參數來解決，但如果我們注意到f（x）=ex-e-x≥ax（x≥0）的幾何意義是：曲線y=ex-e-x（x≥0）恒在射線y=ax（x≥0）的上方，那么就可以考慮利用切線為界線來處理.

解：因為f′（x）=ex+e-x，則f（x）在x=0處的切線方程為y=2x.

易證f（x）≥2x（x≥0）恒成立，則要f（x）≥ax成立，只需f（x）≥2x≥ax成立，所以a≤2.

題型3：通過構造一次函數，進而考慮曲線在某點處的切線來解決不等式問題

例3已知函數f（x）=sinx-xcosx（x≥0），若?x∈［0，+∞），不等式f（x）≤ax3恒成立，求實數a的取值范圍.

解析：因為f（x）=sinx-xcosx（x≥0），又由f（x）≤ax3得所以記則g（x）≤ax的幾何意義為g（x）對應的曲線恒在射線y=ax（x＞0）下方.考慮g（x）在x=0處的切線.

圖3

由上觀之，在上述問題的處理中，考慮以切線為臨界位置，不等式左右兩側對應的曲線以切線為界，借助于切線，從而使問題變得簡潔，為我們處理不等式證明或利用不等式恒成立解決參數問題提供了一個不錯的思路.

【回顧高考】

利用這種解題策略來看看在高考函數與導數題中如何應用.

題1（2017年全國卷Ⅱ，文）設函數f（x）=（1-x2）ex.

（1）討論f（x）單調性；

（2）當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

解析：（1）略.

（2）考慮f（x）在x=0處的切線，因為f′（x）=ex（-x2-2x+1），所以f′（0）=1.所以f（x）在x=0處的切線方程為x-y+1=0.

由圖像（圖4）知f（x）≤x+1，接下來證明這個不等式.記h（x）=ex（1-x2）-x-1，則h′（x）=ex（-x2-2x+1）-1，令t（x）=ex（-x2-2x+1）-1，則t′（x）=ex（-x2-4x-1）＜0，所以t（x）在［0，+∞）上單調遞減，所以t（x）≤t（0）=0，所以h′（x）≤0，所以h（x）在［0，+∞）上單調遞減.所以h（x）≤h（0）=0.所以ex（1-x2）≤x+1.所以要使f（x）≤ax+1恒成立，顯然只需x+1≤ax+1恒成立.所以a≥1.

圖4

題2（2008年全國卷Ⅱ）設函數

（1）求f（x）的單調區間；

（2）如果對任意x≥0都有f（x）≤kx，求實數k的范圍.

解析：（1）略.

故當x∈［0，arccos3k）時，h′（x）>0，因此h（x）在［0，arccos3k）上單調遞增.

當x∈（0，arccos3k）時，h（x）>h（0）=0，即sinx>3kx.