高中數學常用思想方法舉隅

☉江蘇省泰州市姜堰區羅塘高級中學 王光華

一、問題背景

數學思想，即對數學理論的本質認知，數學方法是數學思想的具體化表現，兩者的實質相同，只是側重點不同，但最終都通過數學方法表現出來.高中數學內容繁多，難度較大，但是大多數問題是有規律可循的，即通過特定的數學方法可以準確解答.常見的數學思想方法有：函數與方程、轉化與化歸、數形結合、分類討論及類比.

二、數學思想方法解題策略

在解題過程中靈活地應用數學思想方法，能夠加深學生對問題的理解，使其數學綜合素養與獨立思考能力得到提升，創新思維能力也得到加強.同學們可以體會到任何數學問題的解決過程都是分析與方法選用的結果，從而對數學的畏難情緒也得到有效改善.本文結合蘇教版高中數學的教學實際，著重講解以下思想方法的應用.

1.函數與方程

方程思想與函數思想聯系緊密，在實際解題中往往會組合出現，常見的題型有參數問題、恒成立問題、最值問題等，方程的解與函數零點個數之間的轉化就是典型的函數與方程問題.

例1關于x的方程x2-|x|+a-1=0有4個不同的實數解，試求解a的取值范圍.

解析：本題已知方程實數解的個數，求解參數的取值范圍，直接求解方程則很難得到結果，若采用函數與方程的思想將問題轉化為函數圖像的交點個數問題，則難度就大大降低.

首先分離參數，將表達式轉化為x2-|x|=1-a，這時，方程有4個實數解就變成了函數f（x）=x2-|x|與直線y=1-a的圖像有4個交點，結合函數圖像可知求解可得a的取值范圍為

借助函數與方程的思想方法解決問題最關鍵的就是簡化問題的形式，實現數與形之間的轉化，常用的解題思路有構造函數、分離參數等.

2.轉化與化歸

在解題過程中，尋找題目中已知條件之間的聯系，按照一定的方法原則將未知的問題轉化為已知的條件，這就是轉化與化歸的思想方法.

例2如圖1所示，直三棱柱ABC-A′B′C′的底面是邊長為3的等邊三角形，其中AA′=4，M是AA′的中點，P是BC上的一點，已知點P沿著棱柱的側面經過CC′到AA′的最短路徑為，假設該最短路徑與CC′交于點N，試求解：

（1）PC與NC的長；

（2）三棱錐C-MNP的體積.

解析：已知條件中含有最短路徑的信息，即立體幾何中的最值問題，可以進行轉化.

圖1

圖2

（1）如圖2所示，將三棱柱沿著側棱BB′展開，假設PC的長度為x，易知MP2=MA2+（AC+x）2，因為MA=2，AC=3，所以可得x=2，即PC=2.又因為NC∥AM，可得故

在解決這類立體幾何中的最值問題時，常規的思路就是將立體幾何“平面化”，這里用到的就是轉化與化歸的思想.在本題中，求解三棱錐體積時更換“頂點”的處理方法也是常規思路.

3.數形結合

數形結合的思想方法就是把“數”與“形”一體化考量，即實現幾何與代數的結合.數形結合的方法有效地規避了代數的抽象性與幾何的粗糙性，從而將代數的結構、關系、變化與直觀的幾何圖形聯系起來.

例3計算的值.

解析：假設在單位圓中，點A的坐標為（cos20°，sin20°），點B的坐標為（cos40°，sin40°），那么所求表達式的幾何意義就是單位圓上A、B兩點所連直線的斜率，因此可以繪制出圖形，如圖3所示.∠BCD=∠BOC+，因此直線AB的斜率

圖3

在教材中，三角函數的定義是借助單位圓來實現的，因此在解決有關三角函數的計算問題時，借助單位圓來實現“圖形化”也是一種有效的解題思路，這就是數形結合的思想方法.

4.分類討論

在解題過程中，我們經常會遇到求解復雜且無法采用統一的標準進行計算的問題，而將這種復雜的問題情境進行劃分，根據各自的標準進行求解，這就是分類討論的思想方法，可以將復雜的問題細化，是一種有效的解題思路.

例4已知函數f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5的最大值為2，試求解參數a的取值范圍.

解析：已知表達式中含有兩種不同的三角函數形式，因此很容易想到將函數名統一.f（x）=cos2x+asinx-a2+2a+5=1-sin2x+asinx-a2+2a+5=-令sinx=t，t∈［-1，1］，則原函數變為2a+6，t∈［-1，1］.觀察該表達式，此為二次函數形式，且開口向下，對稱軸為，屬于動軸定區間問題，因此需要分類討論.

5.類比

應用類比的思想方法，可以將已經學過的、簡單的思維方法遷移到新接觸的、復雜的問題上，進而解決教學實踐中遇到的難點.

例5已知等差數列{an}，如果a10=0，則滿足a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n為正整數）.類比上述性質，若在等比數列{bn}中，如果b9=1，則有怎樣的等式？

解析：在等差數列{an}中，如果a10=0，那么a10前后對稱位置項的和為0，如a9+a11=0，a8+a12=0，…，因此a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n（n＜19且n為正整數）.

通過類比，在等比數列{bn}中，如果b9=1，那么b9前后對稱位置項的積為1，如b8b10=1，b7b11=1，…，因此可得b1b2…bn=b1b2…b17-n（n＜17且n為正整數）.

在類比等差數列與等比數列的性質時，最常用到的就是“和”與“積”的類比、“差”與“商”的類比、“算數平均值”與“幾何平均值”的類比.需要注意的是，類比是一種思維方式的遷移，而不是比較兩個對象之間的差異性，重點是要尋找對象之間的相似點，以此為基礎來建立聯系.

三、結束語

綜上所述，數學思想的形成過程是一個積累與內化的過程，通過接觸不同類型的數學問題，在解決過程中實現未知向已知、復雜到簡單的轉變，總結出規律性的思想方法.在教學過程中，教師要引導學生學會將遇到的新問題向已經學過的知識內容或者是已經訓練過的題型上面轉化，將特殊的問題一般化，抽象的問題具體化，靈活應用以上數學思想方法科學解題，從而提高解題效益.