數形結合 避繁就簡
——借助函數的凸凹性巧解一類不等式的參數問題

☉云南省開遠市第一中學 龔敬輝

導數綜合題型中有一類含有一次式的不等式問題.其題型新穎，結構簡單，但入口隱蔽，只有通過細心觀察之后，才會發現這些題都披著一層偽裝——切線，只要撥掉這層偽裝就會變成熟悉的形式.整個過程蘊含著化歸與轉化的思維，再借助函數的凸凹性（數形結合的方法）就可輕松解決.

一、問題提出

題1（2017年全國卷Ⅲ理科21題）已知函數f（x）=x-1-alnx，若f（x）≥0，求a的值.

題2（2017年全國卷Ⅱ文科21題）設函數f（x）=（1-x2）·ex，當x≥0時，f（x）≤ax+1，求a的取值范圍.

通過觀察分析可以發現，這兩道試題屬于同一類型問題：變形后都會含有一個一次式的不等式的參數問題.其題型新穎，結構簡單.如果用平時的常規方法解決，情況較多，運算量大，不易做對.但如果把問題進行轉化，再借助函數圖像的凸凹性形狀特點與它的切線相對位置關系（數形結合的方法）就可輕松解決.本文就探討一下這種題型的解題方法和規律.

下面先熟悉一下函數的凸凹性的有關知識.

二、預備知識

判定：設函數y=f（x）在區間（a，b）內有二階導數f″（x），如果對所有點x∈（a，b），有f″（x）>0（<0），稱函數y=f（x）的圖像在區間（a，b）上為下凸（上凸）（如圖1）.

圖1

性質：（1）如果函數y=f（x）的圖像在區間（a，b）內下凸，則在區間（a，b）內任意一點的切線，都在曲線的下方（切點除外），即f（x）≥f′（x0）（x-x0）+f（x0）（x0∈（a，b））.

（2）如果函數y=f（x）的圖像在區間（a，b）內上凸，則在區間（a，b）內任意一點的切線，都在曲線的上方（切點除外），即f（x）≤f′（x0）（x-x0）+f（x0）（x0∈（a，b））.

三、探究過程

題1的解答：問題轉化為：當x＞0時，x-1≥alnx恰好成立.

令g（x）=x-1，h（x）=alnx.

通過觀察發現（1，0）為g（x）=x-1與h（x）=alnx的公共點.

因此要想使，當x＞0時，x-1≥alnx恰好成立，g（x）=x-1必須是上凸函數h（x）=alnx（h″（x）＜0，a＞0）的切線，其中（1，0）為切點.

圖2

即h（x）=alnx的圖像在切線g（x）=x-1的下方（除切點）.

所以h′（1）=1，則a=1（如圖2所示）.

題2的解答：先討論若x≥0，f（x）≤ax+1恰好成立時的情況.

由于f（x）=（1-x2）·ex，所以f′（x）=ex·（1-2x-x2），f″（x）=ex·（-1-4x-x2）.

當x≥0時，f″（x）≤0，所以f（x）在［0，+∞）上為上凸函數.

通過觀察發現f（x）=（1-x2）·ex與h（x）=ax+1的公共點為（0，1）.

因此要想使，當x≥0時，f（x）≤ax+1恰好成立，h（x）=ax+1必須是上凸函數f（x）=（1-x2）·ex的切線，其中（0，1）為切點.

f（x）=（1-x2）·ex在［0，+∞）上的圖像在切線h（x）=ax+1的下方（除切點）.

所以a=f′（0）=1.

因此結合圖形可知，當x≥0時，要想使f（x）≤ax+1恒成立，只需a≥1即可.（如圖3所示）

圖3

從以上可看出：借助函數的凸凹性與它的切線相對位置關系，特別通過變形后找到曲線函數與直線函數的公共點，以其為切點，問題就可解決.

下面我們來探討在近幾年各種考試中出現的這類型題的解題方法，總結規律.

例1（2016年全國卷Ⅱ文科20）已知函數f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），若當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0，求a的取值范圍.

解析：問題化為：當x∈（1，+∞）時，不等式（x+1）·lnx＞a（x-1）恒成立.

令h（x）=（x+1）lnx，g（x）=a（x-1）.

曲線h（x）=（x+1）lnx與直線g（x）=a（x-1）有一個公共點P（1，0）.

要使（x+1）lnx＞a（x-1）在（1，+∞）上恰好成立，那么直線g（x）=a（x-1）必須是h（x）=（x+1）lnx在（1，0）處的切線.

所以a=h′（1）=2.

而當x∈（1，+∞）時，不等式（x+1）lnx＞a（x-1）恒成立，即x∈（1，+∞）時，h（x）的圖像必須在直線g（x）的圖像上方，此時a≤h′（1）=2（如圖4）.

例2是否存在常數a，b使得x2≥ax+b≥2elnx對任意的正實數x恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

解析：通過分析可知，兩曲線y=x2，y=2elnx有公共點

圖4

易知曲線y=x2是下凸，曲線y=2elnx是上凸.

所以若存在常數a，b使得x2≥ax+b≥2elnx成立，那么直線y=ax+b是曲線y=x2，y=2elnx的公共切線，切點為.（如圖5）

圖5

由于（x2）′=2x，得直線y=ax+b的斜率為

四、拓展探究

最后我們再來研究一下與此相關的綜合問題.

例3（2012年高考全國卷理科21改編）若ex-x≥ax+b對x∈R恒成立，求（a+1）b的最大值.

解析：令g（x）=ex-x，h（x）=ax+b，即g（x）≥h（x）.

由于g′（x）=ex-1，g″（x）=ex＞0，所以g（x）在R上是下凸函數.

要想使g（x）≥h（x）成立，則h（x）必須是g（x）的切線.

（轉化的關鍵）如圖6，設P（x0，y0）是函數g（x）圖像上一點.

以P為切點的切線m：y-（ex0-x0）=（ex0-1）（x-x0），

所以a=ex0-1，b=（1-x0）ex0.

所以（a+1）b=（1-x0）e2x0.

設F（x）=（1-x）e2x，x∈R，則F′（x）=（1-2x）e2x.

圖6

評析：本題的關鍵就是要從圖形的角度去理解此不等式ex-x≥ax+b成立的意義——h（x）=ax+b是下凸函數g（x）=ex-x的切線，接下來一切就迎刃而解了.

五、規律總結

相信通過以上例題解析，大家已經掌握了解決此類問題的規律：（1）找出問題中的曲線與直線；（2）發現公共點；（3）曲線必須為下凸（上凸）形狀，直線是以公共點為切點的切線.再結合曲線與切線之間的相對位置，就可以解決問題.

總之，從這些題目中可以看出，結構上只要是涉及含一次式的不等式恒成立問題，都可以考慮這種方法，利用幾何圖形的形狀特點進行思考分析，當然使用該方法必須將圖像形狀（凸凹性）和位置分析得比較準確才行，特別是以公共點（切點）為突破口.那么問題就可轉化為我們熟悉的形式，解決起來就有法可依，事半功倍了.