重要不等式變式的推廣及應用*

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 楊詩棋

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 宋元妹

☉四川內江師范學院數學與信息科學學院 劉成龍

（a-b）2≥0是中學階段最基本、最重要的不等式.由（a-b）2≥0出發可以得到一系列變式，比如［1］：等.這些變式應用廣泛，是證明分式不等式的一把利劍.當然，這些變式也存在一些局限：證明的對象僅僅限于一次或二次.為突破次數的限制，有必要對這些變式進一步“升級”.文中僅對進行推廣，并運用推廣處理一些不等式的證明，以此拋磚引玉.

一、變式的推廣

推廣：設a，b∈R+，n∈N且n≥2，則，當且僅當2a=b時取等號.

證 明：則（2a）n≥2nabn-1-（n-1）bn，兩邊同除2nbn-1可得

二、推廣的應用

例1（美國《大學數學雜志》1991年第4期征解題）設xi∈R+（i=1，2，…，n），求證xn（x1+x2+…+xn-1+xn）.

證明：原問題等價于xn-1+xn，

當且僅當x1=x2=…=xn時等號成立.

當且僅當a1=a2=…=an時等號成立.

例3設ai，bi∈R+，i=1，2，…，n，n∈N*，且，求證

證明：原問題等價于

例4（伯努利不等式）x＞-1，n為正整數，則（1+x）n≥1+nx.

例5（權方和不等式）設ai，bi＞0，i=1，2，…，n，k∈R+，則

證明：令s=（a1+a2+…+an）-1，t=（b1+b2+…+bn）-1，則原不等式等價于